Reference：Spatial Transformer Networks [Google.DeepMind]
Reference：[Theano源码，基于Lasagne]
闲扯：大数据不如小数据
这是一份很新的Paper(2015.6)，来自于Google旗下的新锐AI公司DeepMind的三位剑桥Phd研究员。
他们针对CNN的特点，构建了一个新的局部网络层，称为空间变换层，如其名，它能将输入图像做任意空间变换。
在我的论文[深度神经网络在面部情感分析系统中的应用与改良]中，提出了一个有趣观点：
大数据不如小数据，如果大数据不能被模型有效利用。
该现象是比较常见的，如ML实战的一个经典问题：数据不均衡，这样模型就会对大类数据过拟合，忽略小类数据。
另外，就是[Evolving Culture vs Local Minima：文化、进化与局部最小值]提到的课程学习观点：
将大数据按照难易度剖分，分批学习，要比直接全部硬塞有效得多。
当前，我们炙手可热的模型仍然是蒟蒻的，而数据却是巧夺天工、超乎想象的。
因而，想要通过模型完全摸清数据的Distribution是不现实的，发明、改良模型结构仍然是第一要务，
而不单纯像Li Feifei教授剑走偏锋，用ImageNet这样的大数据推进深度学习进程。
空间变换的重要意义
在我的论文[深度神经网络在面部情感分析系统中的应用与改良]中，分析了CNN的三个强大原因：
[局部性]、[平移不变性]、[缩小不变性]，还对缺失的[旋转不变性]做了相应的实验。
这些不变性的本质就是图像处理的经典手段，[裁剪]、[平移]、[缩放]、[旋转]。
这些手段又属于一个家族：空间变换，又服从于同一方法：坐标矩阵的仿射变换。
那么，神经网络是否有办法，用一种统一的结构，自适应实现这些变换呢？DeepMind用一种简易的方式实现了。
图像处理技巧：仿射矩阵、逆向坐标映射、双线性插值
1.1 仿射变换矩阵
实现[裁剪]、[平移]、[缩放]、[旋转]，只需要一个$[2,3]$的变换矩阵：
$\begin{bmatrix}\theta_{11} & \theta_{12} & \theta_{13} \\ \theta_{21}& \theta_{22} & \theta_{23}\end{bmatrix}$
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对于平移操作，坐标仿射矩阵为：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & \theta_{13} \\ 0& 1 & \theta_{23}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+\theta_{13}\\
y+\theta_{23}\end{bmatrix}$
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对于缩放操作，坐标仿射矩阵为：
$\begin{bmatrix}\theta_{11} & 0 & 0 \\ 0& \theta_{22} & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\theta_{11}x\\
\theta_{22}y\end{bmatrix}$
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对于旋转操作，设绕原点顺时针旋转$\alpha$度，坐标仿射矩阵为：
$\begin{bmatrix}cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ -sin(\alpha)& cos(\alpha) & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos(\alpha)x+sin(\alpha)y\\ -sin(\alpha)x+cos(\alpha)y\end{bmatrix}$
这里有个trick，由于图像的坐标不是中心坐标系，所以只要做下Normalization，把坐标调整到[-1,1]。
这样，就绕图像中心旋转了，下文中会使用这个trick。
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至于裁剪操作，没有看懂Paper的关于左2x2 sub-matrix的行列式值的解释，但可以从坐标范围解释：
只要$x^{‘}$、$y^{‘}$的范围比$x$，$y$小，那么就可以认为是目标图定位到了源图的局部。
这种这种仿射变换没有具体的数学形式，但肯定是可以在神经网络搜索过程中使用的。
1.2 逆向坐标映射
在线性代数计算中，一个经典的求解思路是：
$\begin{bmatrix}\theta_{11} & \theta_{12} & \theta_{13} \\ \theta_{21}& \theta_{22} & \theta_{23}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{Source}\\ y^{Source}\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x^{Target}\\ y^{Target}\end{bmatrix}$
这种做法在做图像处理时，会给并行矩阵程序设计造成尴尬——需要牺牲额外的空间存储映射源，：
由于$(x^{Target},y^{Target})$必然是离散的，当我们需要得到$Pixel(x^{Target},y^{Target})$的值时，
如果不及时保存$(x^{Source},y^{Source})$，那么就必须即时单点复制$Pixel(x^{Source},y^{Source})->Pixel(x^{Target},y^{Target})$
显然，这种方法的实现依赖于$For$循环：
$For(0....i....Height)\\ \quad For(0....j....Width) \\ \quad \quad Calculate\&Copy$
为了能让矩阵并行计算成为可能，我们需要逆转一下思路：
$\begin{bmatrix}\theta_{11} & \theta_{12} & \theta_{13} \\ \theta_{21}& \theta_{22} & \theta_{23}\end{bmatrix}^{‘}\begin{bmatrix}x^{Target}\\ y^{Target}\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x^{Source}\\ y^{Source}\end{bmatrix}$
之后，构建变换目标图就转化成了，数组下标取元素问题：
$PixelMatrix^{Target}=PixelMatrix^{Source}[x^{Source},y^{Source}]$
这依赖于仿射矩阵的一个性质：
$\begin{bmatrix}\theta_{11} & \theta_{12} & \theta_{13} \\ \theta_{21}& \theta_{22} & \theta_{23}\end{bmatrix}^{‘}=\begin{bmatrix}\theta_{11} & \theta_{12} & \theta_{13} \\ \theta_{21}& \theta_{22} & \theta_{23}\end{bmatrix}^{-1}$
即，由Target变换为Source时，新仿射矩阵为源仿射矩阵的逆矩阵。
1.3 双线性插值
考虑一个$[1,10]$图像放大10倍问题，我们需要将10个像素，扩展到为100的数轴上，整个图像应该有100个像素。
但其中90个对应Source图的像素坐标是非整数的，是不存在的，如果我们用黑色( $RGB(0,0,0)$ ) ，此时图像是惨不忍睹的。
所以需要对缺漏的像素进行插值，利用图像数据的局部性近似原理，取邻近像素做平均生成。
双线性插值是一个兼有质量与速度的方法(某些电子游戏里通常这么排列：线性插值、双线性插值....):
如果$(x^{Source},y^{Source})$是实数坐标，那么先取整(截尾)，然后沿轴扩展$d$个坐标单位，得到$P_{21}$、$P_{12}$、$P_{22}$
一般的(源码中)，取$d=1$，式中分母全被消去，再利用图中双线性插值式进行插值，得到$Pixel(x^{Source},y^{Source})$的近似值。