BZOJ 1597 土地购买 斜率优化

首先，我们看啊，这道题是把线性序列分段的问题，于是显然需要用DP

(^o^)/YES!

于是，f[i]就代表购买前i块土地所需要的最小费用

那么我们就来思考方程，但是发现可能需要我们先来排一排序，搞一搞就出来方程了

于是我们把length升序排列，放到一个队列中

这时我们发现有这样一种现象

存在land[i].length>=land[j].length&&land[i].width>=land[j].width那么j完全没有存在的必要(j表示我好伤心~~(>_<)~~)，但是不管你伤不伤心我们都要删去j

这样之后，我们就会发现排完序后length按照升序排列，width一定按照降序排列(你自己YY吧)

那么显然DP方程就是f[i]=min(f[i],f[j]+land[j+1].width*land[i].length)

(⊙v⊙)嗯，看起来很对的样子

(^o^)/YES!

等等，但是你有没有发现这是一个n^2的算法，而n最大为50000，(⊙v⊙)嗯……炸了>o<

看起来nlgn还是可以接受的

那么我们就需要优化一下啦

O(∩_∩)O哈哈~

锵锵锵，斜率优化闪亮登场

f[i]=f[j]+land[j+1].width*land[i].length

-land[i].length*land[j+1].width+f[i]=f[j]

-land[i].length就代表斜率，f[i]代表截距，那么(land[j+1].width,f[j])就可以看作关于i的点集中的j点

因为我们要求最小值，也就是求最小截距，于是我们就有这样一条截距为-land[i].length的直线，然后有一堆点，如果一个一个枚举就，就，炸了 >o<……

所以呢，我们要维护一个单调队列，使得斜率单调递增

然后我们看这样一种现象

设在当前状态f[i]时,从f[j]转移比从f[k]转移更优,那么f[j]+land[j+1].width*land[i].length

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=50000+10;
struct field{
    LL length,width;
}land[maxn],land2[maxn];
LL n,f[maxn],q[maxn];
bool cmp(field a,field b){
    return a.length<b.length||a.length==b.length&&a.width>b.width;//使长单调上升
}
int main(){
    cin>>n;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&land[i].length,&land[i].width);
    sort(land+1,land+n+1,cmp);
    LL tail=1;
    land2[1].length=land[1].length,land2[1].width=land[1].width;
    for(LL i=2;i<=n;i++){
        while(tail&&land[i].width>land2[tail].width)
            tail--;
        land2[++tail].length=land[i].length,land2[tail].width=land[i].width;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    LL hd=1,ta=1;
    q[1]=0,f[0]=0;
    for(int i=1;i<=tail;i++){
        while((hd<ta)&&(land2[i].length*(land2[q[hd]+1].width-land2[q[hd+1]+1].width)>f[q[hd+1]]-f[q[hd]]))
            hd++;
        f[i]=f[q[hd]]+land2[q[hd]+1].width*land2[i].length;
        while((hd<ta)&&(f[i]-f[q[ta-1]])*(land2[q[ta]+1].width-land2[i+1].width)>=(f[i]-f[q[ta]])*(land2[q[ta-1]+1].width-land2[i+1].width))
            ta--;
        q[++ta]=i;
    }
    cout<<f[tail]<<endl;
    return 0;
}