我们先玩玩单层的神经网络，我们把图像切割成8*8的区域，灰度化，成为64维的输入数据
，$x=(x_{1},\cdots,x_{64})^T$，我们的单层神经网络有8个节点，即权重矩阵为一个$64
\times 8$的矩阵$W$，而输出$a=f(W^Tx+b)$。
以上是编码过程，下面讨论解码过程，上面所述之W,b,a改记为
$W^{(1)},b^{(1)},a^{(1)}$有：$a^{(1)}=f(W^{(1)T}x+b^{(1)})$ 。解码过程的输入是
$a^{(1)}$，权重矩阵为$8 \times 64$的矩阵$W^{(2)}$，输出为
$a^{(2)}=f(W^{(2)T}a^{(1)}+b^{(2)})$。
我们要令$h_{W,b} \to x$即对$h_{W,b}-x$计熵。
$h_{W,b}-x=a^{(2)}-x=f(W^{(2)T}a^{(1)}+b^{(2)})-x$，假设$h_{W,b}-x \sim
N(0,\sigma^2)$，熵是$H_{error}={1 \over 2} ln(2 \pi e \sigma_{error}^2)$，对$\sigma_{error}^2$
的最佳估计是${1 \over m}\sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2$，m是样本的个数，代入熵公式
$H_{error}={1 \over 2} ln(2 \pi e {1 \over m}\sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2)$。
W的熵是$H_W={1 \over 2} ln(2 \pi e {1 \over k \times n \times 2}\sum_i^{k \times n \times 2} (W_i)^2)$，n为隐藏节点数，k是x的尺寸，在本例中k=64。
对于m个样本来说，$H_W$是被平摊的，总的熵为
\begin{eqnarray*}
H&=&m \times H_{error} + H_W\\
&=& m{1 \over 2} ln(2 \pi e {1 \over m}\sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2)+{1 \over 2} ln(2 \pi e {1 \over k \times n \times 2}\sum_i^{k \times n \times 2} (W_i)^2)\\
&=& {1 \over 2}ln((2 \pi e {1 \over m}\sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2)^m \times (2 \pi e {1 \over k \times n \times 2}\sum_i^{k \times n \times 2} (W_i)^2))\\
&=& {1 \over 2}ln((2 \pi e)^{m+1}({1 \over m}\sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2)^m {1 \over k \times n \times 2}\sum_i^{k \times n \times 2} (W_i)^2)
\label{}
\end{eqnarray*}
Andrew NG的版本似乎是从概率的角度出发：m个样本，假设$h_{W,b}-x \sim
N(0,\sigma_{error}^2)$，那么第i个样本出现的概率是：${1 \over \sigma_{error} \sqrt {2
\pi}}e^{-{(a^{(2)}_i-x_i)^2 \over 2\sigma_{error}^2}} $，所有样本都出现的概率是：$({1
\over \sigma_{error} \sqrt {2 \pi}})^m e^{-{ \sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2 \over
2\sigma_{error}^2}}$，所有样本都出现且所有的W出现的概率是：$({1 \over \sigma_{error} \sqrt {2 \pi}})^m \times
({1 \over \sigma_W \sqrt {2 \pi}})^{k \times n \times 2} e^{-({ \sum_i^m
(a^{(2)}_i-x_i)^2 \over 2\sigma_{error}^2}+{ \sum_i^{k \times n \times 2}
(W_i)^2 \over 2\sigma_W^2})}$
Andrew NG先生的版本之所以去做${ {1\over m}\sum_i^m (a^{(2)}_i-x_i)^2 \over
2}+\lambda{\sum_i^{k \times n \times 2} (W_i)^2 \over 2}$的最大化，隐含了几个
假设：
1、先验的，$\sigma_{error}=1,\sigma_W=1$；
2、$\lambda={1 \over m }$，这在练习题的代码中作为经验参数被给出。
通观Andrew NG先生教授的各种方法，倾向于样本作$\sigma$归一化的预处理，或许因此而倾向
于假设未知量服从$N(0,1)$分布。
这是很有趣的，这应该归类为一种工程上的方法，好比造一座大楼，每根柱子用十根钢筋
还是十二根钢筋可能都是在可接受的范围之内的，马马虎虎也没有关系，大手大脚的不妨
多扔几根进去，抠门的不妨偷工减料。但从学理上讲，既然样本的取值范围在0-1之间，将
残差的方差估计为1显然是高估了，权重项$W_ij$作为未知量，预先估计其方差为1也是不
科学的。