动态规划学习系列——划分DP（二）

划分型DP第二题，wikioi 1039，与第一题乘积最大思路有所不同。

题目要求：

将一个数划分成几部分，问一共有多少种分法。

真 · 解题思路：

其实跟小学奥赛的一些题有点像，我们先来看一个例子：

7 分成 3 部分，有四种办法：

1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3 。

我们人脑来考虑问题的时候是怎么想的呢？显然，从1开始，1是第1部分，然后剩下6分成2部分，我们依然是从1开始考虑，1是第2部分，然后5是第3部分；同样接下来考虑第2部分是2，则第3部分是4；接着考虑第2部分是3，第3部分是3；因为每一部分不能比前面的部分小（避免重复），所以1为第1部分的就考虑完了，然后考虑第1部分是2，同理，从第2部分是2开始，于是只有2，3这种情况。

上述人脑思路有点像搜索，这也是为什么我喜欢深搜算法的原因。

但是，现在我们不想用搜索来做，而是用动态规划来做，我们又该怎么考虑呢？

某大牛的名言：动态规划 == 记忆化搜索

我们又知道，动态规划是用上一个状态来推出当前状态的，那么我们可以这么来考虑：单独把第1部分拿出来，考虑第1部分的所有情况以及对应的所有剔除第一部分分成m-1部分的情况，于是，有状态转移方程：

dp[i][j] = ∑dp[i-k][j-1] ( 1 <= k <= j/i )

也可以化简一下，因为dp[i-1][j-1] = ∑dp[i-k-1][j-1]：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]

这个公式可以理解为：先单独考虑第1部分是1，剩下的第1部分必定大于1，所以每一部分都减1也无妨，这个值也是我们知道的！

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,m,dp[205][10];

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(j<=i)
                dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1];
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][m]);

    return 0;
}

总结：

1、虽说编程得站在机器的角度，但偶尔用人脑跑跑也不错；

2、动态规划就是记忆化的深搜；

3、记得不要考虑重复了！