无向连通图（无重边），判断最小生成树是否唯一，若唯一求边权和。
分析生成树的生成过程，只有一个圈内出现权值相同的边才会出现权值和相等但“异构”的生成树。（并不一定是最小生成树）
分析贪心策略求最小生成树的过程（贪心地选最短的边来扩充已加入生成树的顶点集合U），发现只有当出现“U中两个不同的点到V-U中同一点的距离同时为当前最短边”时，才会出现“异构”的最小生成树。
上图为kruscal和prim生成过程中可能遇到的相等边的情况，红色和蓝色的为权值相等的边。
可以看到kruscal由于事先将所有边按权值排序，所以在构造MST的过程中，当发现权值相同的边时，需要遍历之前遇到过的所有相同权值的边来判断是否发生“争抢同一点”的情况，若发现即可判定存在“异构”最小生成树。
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4 using namespace std;
5 const int MAX_N=105;
6 const int MAX_M=5005;
7
8 int par[MAX_N];
9 void init()
10 {
11 memset(par,-1,sizeof(par));
12 }
13 int find(int x)
14 {
15 if(par[x]==-1) return x;
16 return par[x]=find(par[x]);
17 }
18 void unite(int x,int y)
19 {
20 x=find(x);
21 y=find(y);
22 if(x!=y) par[x]=y;
23 }
24 bool same(int x,int y)
25 {
26 return find(x)==find(y);
27 }
28
29 int t;
30 int n,m;
31 struct Edge
32 {
33 int u,v,w;
34 }e[MAX_M];
35
36 bool cmp(Edge e1,Edge e2)
37 {
38 return e1.w<e2.w;
39 }
40
41 bool inter(Edge e1,Edge e2)
42 {
43 if(e1.u==e2.u||e1.u==e2.v||e1.v==e2.u||e1.v==e2.v) return true;
44 else return false;
45 }
46
47 int kruscal()
48 {
49 int ans=0;
50 init();
51 ans+=e[0].w;
52 unite(e[0].u,e[0].v);
53 int cur_w=e[0].w;
54 for(int i=1;i<m;i++)
55 {
56 if(same(e[i].u,e[i].v))
57 {
58 for(int j=i-1;e[j].w==e[i].w;j--)
59 {
60 if(inter(e[i],e[j]))//判两条边有无交点
61 {
62 ans=-1;
63 break;
64 }
65 }
66 }else
67 {
68 unite(e[i].u,e[i].v);
69 ans+=e[i].w;
70 cur_w=e[i].w;
71 }
72 }
73 return ans;
74 }
75
76 int main()
77 {
78 freopen("1679.txt","r",stdin);
79 scanf("%d",&t);
80 while(t--)
81 {
82 scanf("%d%d",&n,&m);
83 for(int i=0;i<m;i++)
84 {
85 scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
86 }
87 if(n==1) {printf("0\n"); continue;}
88 sort(e,e+m,cmp);
89 int ans=kruscal();
90 if(ans==-1)
91 printf("Not Unique!\n");
92 else printf("%d\n",ans);
93 }
94 return 0;
95 }
kruscal
而prim由于每次都选连结U和V-U的边，所以不会遇到kruscal那样蓝色的可能误判的边（我开始就WA在这里），因此只需在加入一个新点更新其他点的mincost时判断有没有和mincost值相等的另一条边的即可。
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <vector>
4 #include <queue>
5 using namespace std;
6 const int MAX_N=105;
7 const int MAX_M=5005;
8 const int INF=100000;
9 typedef pair<int,int> P;//cost,to
10 struct Edge
11 {
12 int to,cost;
13 Edge(){}
14 Edge(int tt,int cc):to(tt),cost(cc){}
15 };
16 int t;
17 int n,m;
18 vector<Edge> G[MAX_N];
19 int vis[MAX_N];
20 int mincost[MAX_N];
21
22 int prim()
23 {
24 int ans=0;
25 int flag=0;
26 priority_queue<P> que;
27 memset(vis,0,sizeof(vis));
28 for(int i=1;i<=n;i++) mincost[i]=INF;
29 que.push(P(0,1));
30 mincost[1]=0;
31 while(!que.empty())
32 {
33 P p=que.top();
34 que.pop();
35 int v=p.second;
36 if(vis[v]||mincost[v]<p.first) continue;
37 vis[v]=1;
38 mincost[v]=p.first;
39 ans+=mincost[v];
40 for(int i=0;i<G[v].size();i++)
41 {
42 int u=G[v][i].to;
43 if(!vis[u])
44 {
45 if(mincost[u]>G[v][i].cost&&G[v][i].cost<INF)
46 {
47 mincost[u]=G[v][i].cost;
48 que.push(P(mincost[u],u));
49 }else if(mincost[u]==G[v][i].cost)//存在到达点u权值相等且都为最小值的边
50 {
51 flag=1;
52 break;
53 }
54 }
55 }
56 if(flag) break;
57 }
58 if(flag) ans=-1;
59 return ans;
60 }
61 int main()
62 {
63 freopen("1679.txt","r",stdin);
64 scanf("%d",&t);
65 while(t--)
66 {
67 scanf("%d%d",&n,&m);
68 for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear();
69 for(int i=0;i<m;i++)
70 {
71 int u,v,w;
72 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
73 G[u].push_back(Edge(v,w));
74 G[v].push_back(Edge(u,w));
75 }
76 if(n==1) {printf("0\n"); continue;}
77 int ans=prim();
78 if(ans==-1)
79 printf("Not Unique!\n");
80 else printf("%d\n",ans);
81 }
82 return 0;
83 }
prim_priorityqueue
时间： 2024-12-27 16:29:10