[bzoj3244] [洛谷P1232] [Noi2013] 树的计数

Description

我们知道一棵有根树可以进行深度优先遍历(DFS)以及广度优先遍历(BFS)来生成这棵树的DFS序以及BFS序。两棵不同的树的DFS序有可能相同,并且它们的BFS序也有可能相同,例如下面两棵树的DFS序都是1 2 4 5 3,BFS序都是1 2 3 4 5

现给定一个DFS序和BFS序,我们想要知道,符合条件的有根树中,树的高度的平均值。即,假如共有K棵不同的有根树具有这组DFS序和BFS序,且他们的高度分别是h1,h2,...,hk,那么请你输出

(h1+h2..+hk)/k

Input

有3行。

第一行包含1个正整数n,表示树的节点个数。

第二行包含n个正整数,是一个1~n的排列,表示树的DFS序。

第三行包含n个正整数,是一个1~n的排列,表示树的BFS序。

输入保证至少存在一棵树符合给定的两个序列。

Output

仅包含1个实数,四舍五入保留恰好三位小数,表示树高的平均值。

Sample Input

5

1 2 4 5 3

1 2 3 4 5

Sample Output

3.500

HINT

【评分方式】

如果输出文件的答案与标准输出的差不超过0.001,则将获得该测试点上的分数,否则不得分。

【数据规模和约定】

20%的测试数据,满足:n≤10;

40%的测试数据,满足:n≤100;

85%的测试数据,满足:n≤2000;

100%的测试数据,满足:2≤n≤200000。

【说明】

树的高度:一棵有根树如果只包含一个根节点,那么它的高度为1。否则,它的高度为根节点的所有子树的高度的最大值加1。

对于树中任意的三个节点a , b , c ,如果a, b都是c的儿子,则a, b在BFS序中和DFS序中的相对前后位置是一致的,即要么a都在b的前方,要么a都在b的后方。


想法

果然noi的题就是有水准啊666

%了各方题解,琢磨了3天才大概明白了这道题

首先将每个点重新编号使bfs为1 2 3 …,dfs对应一下,这样到后面会方便很多。

然后利用期望的线性性质,最终树的高度的期望值便为每个点对树的高度的贡献的期望值之和。

设c[i]为编号为i的点在dfs序中的位置,每个点的期望贡献值为p[i]

按照bfs的顺序考虑每个点(也就是重新编号后1~n的顺序)

有下面这几种情况:

1.c[i] < c[i-1]

那么i只能在i-1的下一行,故p[i]=1

2.c[i] > c[i-1]

那么i既有可能与i-1同行,也有可能在i-1下一行

可在i-1下一行的情况如下图所示:

我们可以发现,蓝色的两个点必须满足在dfs序中相邻,且不会被其它点限制必须在同一行

会不会被两个点限制在同一行其实就是dfs序提供的信息了。

考虑dfs序中相邻的两点i,j(c[j]>c[i]),如果j>i,那么j要么是i的兄弟,要么是i的儿子

也就是说,i+1~j中所有点对树高度的贡献 \(\leq\) 1

刚刚上面所说的“被限制在同一行”其实就是这个东西。

对于每个限制,如果那一段区间内有确定的p[i]=1的点,那么其它点p[i‘]=0

都打上差分标记,最终没有被打标记且p[i]!=1的点就是既可作兄弟又可作儿子的点,p[i]=0.5


代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 200005;

int n;
int a[N],b[N],c[N],p[N],sum[N],zz[N]; //zz差分 

int main()
{
    int x,s;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&x);
        p[x]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        b[i]=i; a[p[x]]=i; c[i]=p[x];
    }

    if(n==1) { printf("1\n"); return 0; }

    p[1]=p[2]=1;
    sum[1]=1; sum[2]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        p[i]=0;
        if(c[i]<c[i-1]) p[i]=1;
        sum[i]=sum[i-1]+p[i];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(a[i]>a[i-1])
            if(sum[a[i]]-sum[a[i-1]]) zz[a[i-1]+1]++,zz[a[i]+1]--;

    double ans=0; s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s+=zz[i];
        if(p[i]) ans+=1;
        else if(s==0) ans+=0.5;
    }
    printf("%.3lf\n%.3lf\n%.3lf\n",ans-0.001,ans,ans+0.001);  //bzoj神奇的输出格式

    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/lindalee/p/8922378.html

时间: 2024-11-05 14:38:14

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