源: 线性代数的本质

To ask the right question is harder than to answer it.   -Georg Cantor

印象中，我在视频里曾看到过这样的两句话（没有经过核实），其中一句是“向量是线性变换的载体”，另外一句是“当线性变换作用于空间······”。

之后我一直有一种误解：向量是一种“物质”，而运动变化（线性变换）必然是作用于物质之上的，不应该有脱离向量的线性变换。这种观点给我理解概念带来了一些困扰。

例如说，我反复看了好几遍才明白“列空间（column space）”到底是在说什么。

因为在我原本的理解中，只存在 A x = y 这种式子，意思就是矩阵 A 作用于向量 x 得到向量 y 。而实际上单独一个 A 就已经表示了一个线性变换的全过程。我们可以这样理解： A 描述了两个空间状态，一个是原始的空间状态 E （维数和矩阵列数相同），另外一个则是变换后的空间状态 A （维数可能小于等于矩阵列数），而变换后的空间状态 A 就被称作列空间，亦即由变换后的基仅通过向量加法与向量数乘这两种基础运算，所能获得的所有可能向量的集合。

另外一个很重要的观点是：不论是 A 、x 还是 y 都只是在一个默认基下对线性变换的描述罢了。如果想不明白，可以脑补一个3D模型，然后考虑如何用计算机来处理它。

1、秩（rank）

列空间的维度数。

2、逆矩阵（Inverse matrices）

这不仅仅是将方程组写进一行的书写技巧，它还阐明了这个问题中优美的几何直观部分，矩阵A代表一种线性变换，所以求解Ax=v意味着我们去寻找一个向量x，使得它在变换后与v重合，思考一下这一过程，你完全可以只考虑对空间变形，以及变换前后向量的重叠，就将多个未知量相互混合的复杂方程组印入脑中，很酷，对吧？

现在，这个方程的解依赖于矩阵A所代表的变换，是将空间挤压到一条线或一个点等低维空间，还是保持像初始状态一样的完整二维空间，用上期视频中的语言来说，我们将它们分为两种情况：A的行列式为零和A的行列式不为零，先来看看最可能发生的情况，即A的行列式不为零，此时空间并未被挤压为零面积的区域，在这种情况下，有且仅有一个向量（在变换后）与v重合，并且你可以通过逆向进行变换来找到这个向量，如同倒带一样，通过跟踪v的动向，你就能找到满足Ax=v的向量x，当你逆向进行变换时，它实际上对应了另一个线性变换，通常被称为“A的逆”，记为A^(-1)

所以A逆的核心性质在于
A逆乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵

随机选一个矩阵，有很大可能会遇到这一非零行列式的情况
也就是说，对于两个未知量和两个方程构成的方程组
几乎可以确定它存在唯一解

3、零空间（null space）

如果一个三维线性变换将空间压缩到一条直线上，那么就有一整个平面上的向量在变换后落在原点，变换后落在原点的向量的集合，被称为矩阵的“零空间”或“核”，变换后一些向量落在零向量上，而“零空间”正是这些向量所构成的空间，对线性方程组来说，当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解

以上就是从几何角度理解线性方程组的一个高水平概述，每个方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时，你就能用这个逆变换求解方程组，否则，列空间的概念让我们清楚什么时候存在解，零空间的概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的

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