线段树可维护的基本信息

一、区间最值

1.单点替换：

 1 const int M=100001;
 2 LL a[M];
 3 LL MAX[M<<2];
 4 #define lson l,m,rt<<1
 5 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 6 void update(int rt){
 7     MAX[rt]=max(MAX[rt<<1],MAX[rt<<1|1]);
 8 }
 9 void build(int l,int r,int rt){
10     if (l==r) {
11         MAX[rt]=a[l];
12         return;
13     }
14     int m=(l+r)>>1;
15     build(lson);
16     build(rson);
17     update(rt);
18 }
19 void modify(int l,int r,int rt,int p,int v){
20     if (l==r) {
21         MAX[rt]=v;
22         return;
23     }
24     int m=(l+r)>>1;
25     if (p<=m) modify(lson,p,v);
26     else modify(rson,p,v);
27     update(rt);
28 }
29
30 int query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr) {
31     if (nowl<=l && r<=nowr) return MAX[rt];
32     int ans=INT_MIN;
33     int m=(l+r)>>1;
34     if (nowl<=m) ans=max(ans,query(lson,nowl,nowr));
35     if (m<nowr) ans=max(ans,query(rson,nowl,nowr));
36     return ans;
37 }

2.区间增减：当一段区间整体增加（减少）某一个定值时，这段区间的最值也同时增大（减小）这个值，可参照区间和中区间增减的代码。

二、区间和

区间和是线段树可维护的最基本的信息，其他所有线段树可维护的序列信息，都是以区间和为模板建立的。

1.单点增减、单点替换：

 1 #define lson l,m,rt<<1
 2 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 3 void update(int rt){
 4     sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];//sum[rt]表示rt节点所包含的区间信息，此处为区间和
 5 }
 6 void build(int l,int r,int rt){ //构造线段树
 7     if (l==r) {
 8         sum[rt]=a[l];
 9         return;
10     }
11     int m=(l+r)>>1;
12     build(lson);
13     build(rson);
14     update(rt);
15 }
16 void modify(int l,int r,int rt,int p,LL v){ //将p位置修改为v
17     if (l==r) {
18         sum[rt]=v;//如果是将p位置的数+v,则此句应为sum[rt]+=v;
19         return;
20     }
21     int m=(l+r)>>1;
22     if (p<=m) modify(lson,p,v);
23     else modify(rson,p,v);
24     update(rt);
25 }
26
27 LL query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr) { //询问[nowl,nowr]的信息
28     if (nowl<=l && r<=nowr) return sum[rt];
29     LL ans=0;
30     int m=(l+r)>>1;
31     if (nowl<=m) ans+=query(lson,nowl,nowr);
32     if (m<nowr) ans+=query(rson,nowl,nowr);
33     return ans;
34 }

2.区间增减、区间替换：（测试：洛谷P3372）

 1 const int M=100001;
 2 LL a[M];
 3 LL sum[M<<2],lazy[M<<2];
 4 #define lson l,m,rt<<1
 5 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 6 void update(int rt){
 7     sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
 8 }
 9 void build(int l,int r,int rt){
10     lazy[rt]=0;//懒标记
11     if (l==r) {
12         sum[rt]=a[l];
13         return;
14     }
15     int m=(l+r)>>1;
16     build(lson);
17     build(rson);
18     update(rt);
19 }
20 void clean(int rt,int len){//懒标记下移
21     if(lazy[rt]){
22         lazy[rt<<1]+=lazy[rt];//若为区间替换则为“=”
23         lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];//同上
24         sum[rt<<1]+=lazy[rt]*(len-(len>>1));//同上
25         sum[rt<<1|1]+=lazy[rt]*(len>>1);//同上
26         lazy[rt]=0;
27     }
28 }
29 void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,LL v){
30     int len=r-l+1;
31     if (nowl<=l&&r<=nowr) {
32         lazy[rt]+=v;//若为区间替换则为“=”
33         sum[rt]+=v*len;//同上
34         return;
35     }
36     clean(rt,len);//每次分治前需要下移懒标记，不分治就不下移
37     int m=(l+r)>>1;
38     if(nowl<=m)modify(lson,nowl,nowr,v);
39     if(m<nowr)modify(rson,nowl,nowr,v);
40     update(rt);
41 }
42 LL query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr) {
43     if (nowl<=l && r<=nowr) return sum[rt];
44     clean(rt,r-l+1);//同上
45     LL ans=0;
46     int m=(l+r)>>1;
47     if (nowl<=m) ans+=query(lson,nowl,nowr);
48     if (m<nowr) ans+=query(rson,nowl,nowr);
49     return ans;
50 }

3.区间加减乘混合（测试：洛谷P3373）

 1 typedef long long LL;
 2 const int M=100001;
 3 LL a[M];
 4 LL sum[M<<2],add[M<<2],c[M<<2];
 5 LL p;//模数
 6 #define lson l,m,rt<<1
 7 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 8 void update(int rt){
 9     sum[rt]=(sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1])%p;
10 }
11 void build(int l,int r,int rt){
12     add[rt]=0;c[rt]=1;//加法懒标记和乘法懒标记
13     if (l==r) {
14         sum[rt]=a[l];
15         return;
16     }
17     int m=(l+r)>>1;
18     build(lson);
19     build(rson);
20     update(rt);
21 }
22 void clean(int rt,int len){
23     if(c[rt]!=1){//先下移乘法标记，再下移加法标记
24         c[rt<<1]=c[rt<<1]*c[rt]%p;
25         c[rt<<1|1]=c[rt<<1|1]*c[rt]%p;
26         add[rt<<1]=add[rt<<1]*c[rt]%p;//加法标记也要乘上乘数
27         add[rt<<1|1]=add[rt<<1|1]*c[rt]%p;
28         sum[rt<<1]=sum[rt<<1]*c[rt]%p;
29         sum[rt<<1|1]=sum[rt<<1|1]*c[rt]%p;
30         c[rt]=1;
31     }
32     if(add[rt]){
33         add[rt<<1]=(add[rt<<1]+add[rt])%p;
34         add[rt<<1|1]=(add[rt<<1|1]+add[rt])%p;
35         sum[rt<<1]+=add[rt]*(len-(len>>1));sum[rt<<1]%=p;
36         sum[rt<<1|1]+=add[rt]*(len>>1);sum[rt<<1|1]%=p;
37         add[rt]=0;
38     }
39 }
40 void modify(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,LL v){//区间加法
41     int len=r-l+1;
42     if (nowl<=l&&r<=nowr) {
43         add[rt]=(add[rt]+v)%p;
44         sum[rt]=(sum[rt]+v*len%p)%p;
45         return;
46     }
47     clean(rt,len);
48     int m=(l+r)>>1;
49     if(nowl<=m)modify(lson,nowl,nowr,v);
50     if(m<nowr)modify(rson,nowl,nowr,v);
51     update(rt);
52 }
53 void modify_(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr,LL v){//区间乘法
54     int len=r-l+1;
55     if(nowl<=l&&r<=nowr){
56         c[rt]=c[rt]*v%p;
57         add[rt]=add[rt]*v%p;
58         sum[rt]=sum[rt]*v%p;
59         return;
60     }
61     clean(rt,len);
62     int m=(l+r)>>1;
63     if(nowl<=m)modify_(lson,nowl,nowr,v);
64     if(m<nowr)modify_(rson,nowl,nowr,v);
65     update(rt);
66 }
67 LL query(int l,int r,int rt,int nowl,int nowr) {
68     if (nowl<=l && r<=nowr) return sum[rt];
69     clean(rt,r-l+1);
70     LL ans=0;
71     int m=(l+r)>>1;
72     if (nowl<=m) ans=(ans+query(lson,nowl,nowr))%p;
73     if (m<nowr) ans=(ans+query(rson,nowl,nowr))%p;
74     return ans;
75 }