【BZOJ3510】首都

Description

在X星球上有N个国家，每个国家占据着X星球的一座城市。由于国家之间是敌对关系，所以不同国家的两个城市是不会有公路相连的。 
X星球上战乱频发，如果A国打败了B国，那么B国将永远从这个星球消失，而B国的国土也将归A国管辖。A国国王为了加强统治，会在A国和B国之间修建一条公路，即选择原A国的某个城市和B国某个城市，修建一条连接这两座城市的公路。 
同样为了便于统治自己的国家，国家的首都会选在某个使得其他城市到它距离之和最小的城市，这里的距离是指需要经过公路的条数，如果有多个这样的城市，编号最小的将成为首都。 
现在告诉你发生在X星球的战事，需要你处理一些关于国家首都的信息，具体地，有如下3种信息需要处理： 
1、A x y：表示某两个国家发生战乱，战胜国选择了x城市和y城市，在它们之间修建公路（保证其中城市一个在战胜国另一个在战败国）。 
2、Q x：询问当前编号为x的城市所在国家的首都。 
3、Xor：询问当前所有国家首都编号的异或和。

Input

第一行是整数N，M，表示城市数和需要处理的信息数。 
接下来每行是一个信息，格式如题目描述（A、Q、Xor中的某一种）。

Output

输出包含若干行，为处理Q和Xor信息的结果。

Sample Input

10 10
Xor
Q 1
A 10 1
A 1 4
Q 4
Q 10
A 7 6
Xor
Q 7
Xor

Sample Output

11
1
1
1
2
6
2

HINT

对于100%的数据，2<=N<=100000，1<=M<=200000。

题解：考虑每次将小的树合并到大的树上，这样每次大树的重心移动距离不会超过（小树的大小+1），那么我们只需要知道重心移动到了哪里。

可以确定的是，一棵树最多只有相邻的两个重心，所以我们如果想将b接到a的子树上，那么新的重心一定在（原重心-b）的这条链上，并且距离不超过（b树的大小+1）,所以我们将对b进行access操作，在对原重心进行splay操作，这样的话这条链上的所有点就都在这棵splay里了，我们可以对splay进行中序遍历，就能将这些点都按顺序拿出来。

那么我们如何确定该以哪个为根呢？我们考虑根从一个点跳到它的儿子时是否会令答案更优，这就需要我们求出每个点的子树大小。我们只需要将当前点splay一下，然后它在LCT中的子树大小就是它在原树中的子树大小了（用LCT维护子树信息的方法不在赘述）。

本题的细节就在于要时刻注意splay,access和计算的顺序，即有时候的子树大小并不是真的大小，还需要进行一系列的操作（或者在进行某些操作后，子树大小就变了），还有别忘了中序遍历的时候需要pushdown。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m,tot,nr,sum;
struct splay
{
	int sx,sl,ch[2],fa,rev;
}s[maxn];
int p[maxn];
char str[10];
bool isr(int x)	{return s[s[x].fa].ch[0]!=x&&s[s[x].fa].ch[1]!=x;}
void pushup(int x)	{s[x].sl=s[x].sx+s[s[x].ch[0]].sl+s[s[x].ch[1]].sl+1;}
void pushdown(int x)
{
	if(s[x].rev)
	{
		swap(s[x].ch[0],s[x].ch[1]),s[x].rev=0;
		if(s[x].ch[0])	s[s[x].ch[0]].rev^=1;
		if(s[x].ch[1])	s[s[x].ch[1]].rev^=1;
	}
}
void updata(int x)
{
	if(!isr(x))	updata(s[x].fa);
	pushdown(x);
}
void rotate(int x)
{
	int y=s[x].fa,z=s[y].fa,d=(x==s[y].ch[1]);
	if(!isr(y))	s[z].ch[y==s[z].ch[1]]=x;
	s[y].fa=x,s[x].fa=z,s[y].ch[d]=s[x].ch[d^1];
	if(s[x].ch[d^1])	s[s[x].ch[d^1]].fa=y;
	s[x].ch[d^1]=y;
	pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x)
{
	updata(x);
	while(!isr(x))
	{
		int y=s[x].fa,z=s[y].fa;
		if(!isr(y))
		{
			if((y==s[z].ch[0])^(x==s[y].ch[0]))	rotate(x);
			else	rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	for(int y=0;x;splay(x),s[x].sx-=s[y].sl-s[s[x].ch[1]].sl,s[x].ch[1]=y,pushup(x),y=x,x=s[x].fa);
}
void maker(int x)
{
	access(x),splay(x),s[x].rev^=1;
}
void link(int x,int y)
{
	maker(x),access(y),splay(y),s[y].sx+=s[x].sl,s[x].fa=y,pushup(y);
}
int findr(int x)
{
	access(x),splay(x),pushdown(x);
	while(s[x].ch[0])	x=s[x].ch[0],pushdown(x);
	return x;
}
void query(int x,int y)
{
	if(!x)	return ;
	pushdown(x);
	query(s[x].ch[0],y);
	if(p[0]>=y)	return ;
	p[++p[0]]=x;
	if(p[0]>=y)	return ;
	query(s[x].ch[1],y);
}
int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	//freopen("bz3510.in","r",stdin);
	n=rd(),m=rd();
	int i,j,a,b,c,d,e,sc,sd;
	for(i=1;i<=n;i++)	s[i].sl=1,sum^=i;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",str);
		if(str[0]==‘X‘)	printf("%d\n",sum);
		if(str[0]==‘Q‘)	printf("%d\n",findr(rd()));
		if(str[0]==‘A‘)
		{
			a=rd(),b=rd(),c=findr(a),splay(c),d=findr(b),splay(d),sc=s[c].sl,sd=s[d].sl;
			if(sc<sd||(sc==sd&&c>d))	swap(c,d),swap(a,b),swap(sc,sd);
			link(b,a),access(b),splay(c),p[0]=0,tot=sc+sd,query(c,sd+1),nr=c;
			for(j=1;j<=p[0];j++)
			{
				splay(p[j]);
				e=s[p[j]].sx+1+(s[p[j]].ch[1]>0?s[s[p[j]].ch[1]].sl:0);
				if(tot-e<e||(tot-e==e&&p[j]<=nr))	nr=p[j];
				else	break;
			}
			maker(nr),sum^=nr,sum^=c,sum^=d;
		}
	}
	return 0;
}