(五)分数阶微分方程的解法及其适定性问题介绍

a ) 为此介绍一些常见的变换及其性质
Laplace变换的定义为
$$ \mathscr{L}
\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
Laplace反演变换公式为
$$\mathscr{L}^{-1}F(s)=\int_{0}^{\infty}F(s)e^{st}ds
$$
定义卷积
$$f(t)\ast
g(t)=\int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_{0}^{t}f(t)g(t-\tau)d\tau=g(t) \ast
f(t)$$
易得卷积定理
$$\mathscr{L}\{f(t)\ast
g(t)\}=F(s)G(s)$$
$$\mathscr{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f(t)\ast
g(t)$$
$n$阶导数的$Laplace$变换公式
$$\mathscr{L}\{D^{n}f(x)\}=s^{n}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{n-k-1}f(0)$$
证明:不断地使用分部积分法即可。注意这个式子的特征是第一项的指标和是$n$,第二项的指标和是$n-1$.
特别地,若$D^{k}f(0)=0

(k=0,1,2\cdots,n-1)$则
$$\mathscr{L}\{D^{n}f(x)\}=s^{n}\mathscr{L}\{f(x)\}$$
由此得$Riemann-Liouville$型分数阶导数的Laplace变换为
$$\mathscr{L}\{_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}f(x)\}=s^{\alpha}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{\alpha-k-1}f(0)$$
其中$n-1\leq
\alpha <n$.第一项指标和为$\alpha$,
第二项指标和为$\alpha-1$.式子中含有分数阶初值.
证明:
由定义知
$$D^{\alpha}f(x)=D^{n}D^{-(n-\alpha)}f(x)=D^{n}g(x)$$
其中
$$g(x)=D^{-(n-a)}f(x)=\frac{x^{n-\alpha-1}}{\Gamma(n-\alpha)}\ast
f(x)$$
由$n$阶导数的Laplace变换公式得
$$\mathscr{L}\{_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}\}=s^{n}G(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}[D^{n-k-1}g(s)|_{s
\to
0^{+}}]$$
只要计算$G(s)$即可,利用卷积公式有
$$G(s)=\mathscr{L}\{\frac{x^{n-\alpha-1}}{\Gamma(n-\alpha)}\}F(s)=s^{\alpha-n}F(s)$$
代入上式既得要得的结论.
特殊地,
当$0<\alpha<1$时有结论
$$\mathscr{L}\{_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}\}=s^{\alpha}F(s)-D^{\alpha-1}f(0)$$
当$1<\alpha<2$时有结论
$$\mathscr{L}\{_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}\}=s^{\alpha}F(s)-sD^{\alpha-2}f(0)-D^{\alpha-1}f(0)$$

从上面的证明过程我们也可以看到分数阶积分的Laplace变换为
$$\mathscr{L}\{D^{-\alpha}f(x)\}=\mathscr{L}\{\frac{x^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\}F(s)=s^{-\alpha}F(s)$$

$Caputo$型的分数阶导数为
$$\mathscr{L}\{_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}f(x)\}=s^{\alpha}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{a-k-1}D^{k}f(0)$$
其中第一项指标和为$\alpha$,第二项指标和为$\alpha-1$,不含分数阶初值.
证明:利用分数阶积分的Laplace变换和$n$阶导数的Laplace变换得
$$\mathscr{L}\{{}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}f(x)\}=\mathscr{L}\{D^{-(n-\alpha)}D^{n}f(x\}=s^{a-n}[s^{n}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}D^{k}f(0)]$$
Fourier变换的定义为
$$\mathscr{F}\{f(x)\}=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega
x}f(x)dx$$
$$\mathscr{F}^{-1}\{F(\omega)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i
\omega
x}dk$$
$n$阶导数的Fourier变换为
$$\mathscr{F}\{D^{n}f(x)\}=(-i\omega)^{n}F(\omega)$$
证明:不断地采用分部积分法即可.

我们考虑如下的$Riemann-Liouville$型和$Caputo$型分数阶导数的Fourier变换
$$\mathscr{F}\{_{-\infty}^{RL}D_{t}^{\alpha}f(x)\}=$$
$$\mathscr{F}\{_{-\infty}^{C}D_{t}^{\alpha}f(x)\}=$$

另一种常用的变换是Millin变换,Millin变换的定义为
$$\mathscr{M}\{f(t)\}=\int_{0}^{+\infty}t^{s-1}f(t)dt$$
Millin逆变换的定义为
$$f(t)=\frac{1}{2\pi
i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}t^{-s}F(s)ds$$
同样可以考虑分数阶$Riemann-Liouville$型导数和$Caputo$型导数的Millin变换
$$\mathscr{M}\{_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}\}=$$
$$\mathscr{M}\{_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}\}=$$
以上变换是用变换法解分数阶微分方程的基础,有一些特殊函数及其性质在解的过程中也极其重要,下面予以介绍.

c).
M-L函数、Wright函数、Fox函数

M-L函数:
我们知道指数函数的渐进展式
$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\Gamma(n+1)},x
\in R$$
M-L函数正是指数函数的推广,这是由数学家 Mittag-Leffler
引进的函数,正如指数函数在整数阶微分方程中的地位一样,M-L函数在分数阶微分方程中也起到很重要的作用,我们也可以称其为广义的指数函数.
单参数的M-L函数为
$$E_{\alpha}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k\alpha+1)}$$
双参数的M-L函数为
$$E_{\alpha,\beta}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(\alpha
k+\beta)}$$
其中$\alpha>0,\beta>0$.
收敛性 (复数域内是全纯函数):
记$a_{k}=\frac{1}{\Gamma(\alpha
k+\beta)}$,由斯特林公式得
$$\overline{\lim_{k \to
\infty}}\sqrt[k]{a_{k}}=\overline{\lim_{k \to \infty}}(\alpha
{k}+\beta-1)^{-\frac{\alpha
k+\beta}{2k}}e^{\alpha}=0$$
斯特林公式为
$$\Gamma(1+x)=\sqrt{2\pi
x}x^{x+\frac{1}{2}}e^{-x+\frac{\theta}{12x}},(0<\theta<1)$$
一些特殊值从定义可得
$$E_{1,1}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}=e^{z}$$
$$E_{1,2}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k+2)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{(k+1)!}=\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k+1}}{(k+1)!}
=\frac{e^{z}-1}{z}$$
$$E_{1,3}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k+3)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{(k+2)!}=\frac{1}{z^{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k+2}}{(k+2)!}
=\frac{e^{z}-1-z}{z^{2}}$$
$$E_{1,m}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k+m)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{(k+m-1)!}=\frac{1}{z^{m-1}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k+m-1}}{(k+m-1)!}
=\frac{e^{z}-\sum_{k=0}^{m-2}\frac{z^{k}}{k!}}{z^{m-1}}$$
当$\alpha=2$时,
$$E_{2,1}(z^{2})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{\Gamma(2k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}=cosh(z)$$
$$E_{2,2}(z^{2})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{\Gamma(2k+2)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k+1)!}=\frac{sinh(z)}{z}$$
其中
$$\cosh(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$$
$$\sinh(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$$
一个稍微困难一点又重要的等式是
$$E_{\frac{1}{2},1}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}=e^{z^2}
erfc(-z)$$
其中$erf(z)$为高斯误差函数
$$erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-t^{2}}dt$$
$$erfc(z)=1-erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{z}^{\infty}e^{-t^{2}}dt$$
证明:
利用幂级数法,记$g(z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-z)^n}{\Gamma(1+\frac{n}{2})},$
易证内闭一致收敛.

\begin{eqnarray*}
g‘(z)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n
z^{n-1}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})}\\
&=&
-\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n
z^{n-1}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})}\\
&=&-
\frac{2}{\sqrt{\pi}}+2z\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}z^{m}}{\Gamma(1+\frac{m}{2})},(Let
\ \ n=m+2)\\
&=&-
\frac{2}{\sqrt{\pi}}+2zg(z)
\end{eqnarray*}
又$g(0)=1$,解倍努力方程便可得
$$g(z)=e^{z^{2}}erfc(z)$$

同理可得
$$\frac{d}{dz}E_{\frac{1}{k},1}(z)=kz^{k-1}E_{\frac{1}{k},1}(z)+k\sum_{n=1}^{k-1}\frac{z^{n-1}}{\Gamma(n/k)}$$
所以
$$E_{\frac{1}{k},1}(z)=e^{z^{k}}+e^{z^{k}}\int_{0}^{z}ke^{-t^{k}}\sum_{n=1}^{k-1}\frac{t^{n-1}}{\Gamma(n/k)}dt$$
渐进估计
首先有$E_{\alpha}(z)$的积分表达式
$$E_{\alpha}(z)=\frac{1}{2\pi
i}\int_{Ha}\frac{\xi^{\alpha-1}}{\xi^{\alpha}-z}\ e^{\xi}d\xi,\ \ \ \
\alpha>0,z\in
\mathbb{C}$$
证明过程要用到$\frac{1}{\Gamma(z)}$的积分表达式
$$\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{1}{2\pi
i}\int_{Ha}\ e^{\xi}\xi^{-z}d\xi$$
Hankel围道图形如下:

有渐进估计式
$$E_{\beta}(-t^{\beta})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-t^{\beta})^{k}}{\Gamma(\beta
k+1)} \sim \frac{sin(\beta \pi)}{\pi}\
\frac{\Gamma(\beta)}{t^{\beta}}$$
M-L函数的Laplace变换在解分数阶偏微分方程中起到核心作用:
$$\mathscr{L}\{t^{n\alpha+\beta-1}E_{\alpha,\beta}^{(n)}(t^{\alpha})\}=\frac{n!s^{\alpha-\beta}}{(s^{\alpha}-1)^{n+1}}$$
特殊地,当$n=0$时
$$\mathscr{L}\{t^{\beta-1}E_{\alpha,\beta}(t^{\alpha})\}=\frac{s^{\alpha-\beta}}{s^{\alpha}-1}$$
证明:
$$E_{\alpha,\beta}^{(n)}(z)=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k\alpha+\beta)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k(k-1)(k-2)\cdots
(k-n+1)z^{k-n}}{\Gamma(k\alpha+\beta)}$$
所以
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n\alpha+\beta-1}E_{\alpha,\beta}^{(n)}(t^{\alpha})dt
&=&\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n\alpha+\beta-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k(k-1)(k-2)
\cdots
(k-n+1)t^{(k-n)\alpha}}{\Gamma(k\alpha+\beta)}dt\\
&=&\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)(k-2)
\cdots
(k-n+1)\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{t^{k\alpha+\beta-1}}{\Gamma(k\alpha+\beta)}dt\\
&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k(k-1)(k-2)\cdots
(k-n+1)}{s^{k\alpha+\beta}}\\
&=&\frac{1}{s^{\beta}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{(s^{a})^{k}}\\
&=&\frac{1}{s^{\beta}}\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)\lambda
^{k}\ \
(\lambda=s^{-\alpha})\\
&=&\frac{\lambda^{n}}{s^{\beta}}\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)\lambda
^{k-n}\\
&=&\frac{\lambda^{n}}{s^{\beta}}\frac{d^{n}}{d\lambda^{n}}(\frac{1}{1-\lambda})\\
&=&\frac{\lambda^{n}}{s^{\beta}}\frac{n!}{(1-\lambda)^{n+1}}\\
&=&\frac{n!s^{\alpha-\beta}}{(s^{\alpha}-1)^{n+1}}\\
\end{eqnarray*}

推广至
$$\mathscr{L}\{t^{n\alpha+\beta-1}E_{\alpha,\beta}^{(n)}(\gamma
t^{\alpha})\}=\frac{n!s^{\alpha-\beta}}{(s^{\alpha}-\gamma)^{n+1}}$$
特殊地,
$$\mathscr{L}\{t^{(n+1)\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}^{(n)}(\gamma
t^{\alpha})\}=\frac{n!}{(s^{\alpha}-\gamma)^{n+1}}$$
所以有
$$\mathscr{L}^{-1}\{\frac{k!}{(s^{\alpha}-\gamma)^{k+1}}\}=t^{(k+1)\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}^{(k)}(\gamma
t^{\alpha})$$
$$\mathscr{L}^{-1}\{\frac{k!s^{\alpha-\beta}}{(s^{\alpha}-\gamma)^{k+1}}\}=t^{k\alpha+\beta-1}E_{\alpha,\beta}^{(k)}(\gamma
t^{\alpha})$$
分数阶微分方程的解法:
例1: 特征值问题
$$_{0}D_{t}^{\alpha}f(x)=\lambda
f(x)
$$
解:两边取Laplace变换则有
$$s^{\alpha}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{\alpha-k-1}f(0)=\lambda
F(s)$$
从而
$$F(s)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{s^{k}}{s^{\alpha}-\lambda}b_{k}$$
所以
$$f(t)=\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}\mathscr{L}^{-1}\{\frac{s^{k}}{s^{\alpha}-\lambda}\}=\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}t^{a-k-1}E_{\alpha,\alpha-k}(\lambda
t^{\alpha})$$
例2: 含有非齐次项的分数阶微分方程
$$_{0}D_{t}^{\alpha}f(x)-\lambda
f(x)=h(x)$$
解:
两边同时取Laplace变换有
$$s^{\alpha}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{\alpha-k-1}f(0)-\lambda
F(s)=H(s)$$
从而
$$F(s)=\frac{H(s)}{s^{\alpha}-\lambda}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{s^{k}}{s^{\alpha}-\lambda}b_{k}$$
利用卷积定理和例1的结论有
$$f(x)=h(x)\ast
(t^{\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}(\lambda
t^{\lambda}))+\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}t^{\alpha-k-1}E_{\alpha,\alpha-k}(\lambda
t^{\alpha})$$
例3:
设$0<p<q<1$,方程
$$_{0}D_{t}^{p}f(x)+_{0}D_{t}^{q}f(x)=h(x)$$
解:
两边同时取Laplace变换有
$$[s^{p}F(s)-s^{0}D^{p-1}f(0)]+[s^{q}F(s)-s^{0}D^{q-1}f(0)]=H(s)$$
从而
$$F(s)=\frac{C+H(s)}{s^{p}+s^{q}}=(C+H(s))\frac{s^{-p}}{s^{q-p}+1}$$
所以
$$f(t)=C
t^{q-1}E_{q-p,q}(-t^{q-p})+ t^{q-1}E_{q-p,q}(-t^{q-p})\ast h(t) $$
例4: (RL)
初边值问题
$$_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}u(x,t)=\lambda^{2}\frac{\partial
^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}\ \ \ \ \ \ \
(0<\alpha<1,t>0,-\infty<x<+\infty)$$
$$\lim_{x \to \infty}
u(x,t)=0,_{0}D_{t}^{\alpha-1}u(x,t)|_{t=0}=\varphi(x)$$
解:
对方程空间变量两边取Fourier变换
$$_{0}D_{t}^{\alpha}u(\omega,t)+\lambda^{2}\omega^{2}u(\omega,t)=0$$
$$_{0}D_{t}^{\alpha-1}u(\omega,t)|_{t=0}=\varphi(\omega)$$
对上述方程时间变量两边取Laplace变换
$$s^{\alpha}u(\omega,s)-\varphi(w)+\lambda^{2}\omega^{2}u(\omega,s)=0$$
整理得
$$u(\omega,s)=\frac{\varphi(\omega)}{s^{\alpha}+\lambda^{2}\omega^2}$$
然后对上述方程取Laplace逆变换得
$$u(\omega,t)=\varphi(w)t^{\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}(-\lambda^{2}\omega^{2}t^{\alpha})$$
对上式再采取Fourier逆变换得
$$u(x,t)=\varphi(x)
\ast
\mathscr{F}^{-1}\{t^{\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}(-\lambda^{2}\omega^{2}t^{\alpha})\}$$
例5:
(C) 初边值问题
$$_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(x,t)=\lambda^{2}\frac{\partial
^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}\ \ \ \ \ \ \
(0<\alpha<1,t>0,-\infty<x<+\infty)$$
$$\lim_{x \to \infty}
u(x,t)=0,u(x,t)|_{t=0}=\varphi(x)$$
解:
对方程空间变量两边取Fourier变换
$$_{0}D_{t}^{\alpha}u(\omega,t)+\lambda^{2}\omega^{2}u(\omega,t)=0$$
$$u(\omega,t)|_{t=0}=\varphi(\omega)$$
对上述方程时间变量两边取Laplace变换
$$s^{\alpha}u(\omega,s)-s^{\alpha-1}\varphi(w)+\lambda^{2}\omega^{2}u(\omega,s)=0$$
整理得
$$u(\omega,s)=\frac{s^{\alpha-1}}{s^{\alpha}+\lambda^{2}\omega^2}\varphi(\omega)$$
然后对上述方程取Laplace逆变换得
$$u(\omega,t)=\varphi(w)E_{\alpha,1}(-\lambda^{2}\omega^{2}t^{\alpha})$$
对上式再采取Fourier逆变换得
$$u(x,t)=\varphi(x)
\ast \mathscr{F}^{-1}\{E_{\alpha,1}(-\lambda^{2}\omega^{2}t^{\alpha})\}$$
例6:
Bagley和Torvik提出分数阶微分方程
$$Ay‘‘(t)+B _{0}^{RL}D_{t}^{3/2}y(t)+C
y(t)=f(t)$$
解: 两边取Laplace变换则有
$$A [s^{2} Y(s)-sy(0)-y‘(0)]+B
[s^{3/2}Y(s)-s^{0}D^{1/2}y(0)-sD^{-1/2}y(0)]+CY(s)=F(s)$$
所涉及到的初值均为0,整理得
$$Y(s)=\frac{F(s)}{A\
s^{2}+B\ s^{3/2}+C}$$
 同样可用
Mellin变换解分数阶初值问题,用变换解方程的思想都是将微分方程转换为代数方程,代数方程较好求解,然后利用逆变换得到原方程的解.可能用到的特殊函数还有Wright
函数和 Fox函数.

Wright函数:
$$W_{\alpha,\beta}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!\Gamma(\alpha
k+\beta)}$$
Fox函数:
$$H_{p,q}^{m,n}[z|_{(a_{1},A_{1}),\cdots
,(a_{p},A_{p})}^{(b_{1},B_1),\cdots ,(b_p,B_p)}]=\frac{1}{2\pi
i}\int_{L}\mathscr{H}_{p,q}^{m,n}(s)z^{s}ds$$
其中
$$\mathscr{H}_{p,q}^{m,n}(s)=\frac{\prod_{k=1}^{m}\Gamma(b_{k}-B_{k}s)\prod_{j=1}^{n}\Gamma(1-a_{j}+A_{j}s)}{\prod_{k=m+1}^{q}\Gamma(1-b_{k}+B_{k}s)
\prod_{j=n+1}^{p}\Gamma(b_{k}+B_{k}s)}$$

Green函数法

幂级数法

Sturm-Liouville问题

Fourier级数波解

解的性态研究  古典解、弱解、强解的存在性、唯一性(一般使用不动点原理)稳定性,解的渐进行为等。

常用的最基本工具:
(Banach)   完备的度量空间的压缩映射有唯一的不动点。
(Banach)  度量空间
$R$完备,$B$是$R$到$R$映射,若有$B^{n}$是$R$上的压缩映射,则$B$在$R$中有唯一的不动点。

(schauder)
 设$R$是赋范线性空间,$A$是$R$中凸紧集,$f$是$A$到$A$的连续映射,那么$f(x)$在$A$中有不动点。
(schauder)
 设$X$是Banach空间,$S$是空间$S$的凸闭集,$f$是$S$到$S$的连续映射且$f(S)$致密,
那么$f(x)$在$S$中有不动点。

(Lax-Milgram)
设$a(x,y)$是Hilbert空间H上的共轭双线性函数,满足
(1)相容性,$\exists M>0$,使得$|a(x,y)|\leq M
\|x\|\|y\|$
(2)正定性,$\exists \delta>0$,使得$|a(x,y)|\geq \delta
\|x\|^{2}$
那么必存在唯一的有连续逆的连续线性算子$A\in
L(H)$满足
$$a(x,y)=(x,Ay),\mbox{且}||A^{-1}||\leq
\frac{1}{\delta}$$

能量不等式

极值原理(复旦大学程晋教授)

当前研究热点的分数阶偏微分方程有:

数值解,算法的研究(国内厦门大学、上海大学等)

由于分数阶导数具有历史依赖性和全域相关性,从而增加了数值计算的复杂性,分数阶微分方程其实是微分-
积分方程或积分-微分方程,使得整数阶时的一些数值格式失效。目前主要方法有级数逼近法、变分迭代法、有限差分法等。具体的可参看郭柏灵院士所著的《分数阶偏微分方程及其数值解》。

(五)分数阶微分方程的解法及其适定性问题介绍,布布扣,bubuko.com

时间: 2024-11-08 18:11:52

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1)微分方程:未知函数,未知函数的导数,自变量:2)微分的阶:最高阶导数的次数:3)可分离变量的微分方程:g(y)dy=f(x)dx型,这类微分方程的解法是两边同时积分:需要注意的是,虽然可以化为这种类型,但不一定能求出解的.4)齐次微分方程:可化为dy/dx=G(y/x)的方程.可令u=y/x,并变换成可分离变量的微分方程来求解:5)可化为齐次微分方程:dy/dx=(ax+by+c)/(lx+my+n).(不满足c=n=0),这类方程可通过x=X+h,y=Y+k来替代,化为齐次微分方程.通过a

《数学竞赛辅导》-微分方程-8.2

这一章节将用来讨论微分方程的有关题目. Ex7.1: 分析:有关解微分方程的问题,最基础的类型有5种(可分离变量.齐次方程.一阶线性方程.伯努利方程.全微分方程),那么在具体的题目中我们需要做的就是将当前形式不那么明显的微分方程转化成这五种已经归纳出解法的微分方程.

高阶线性微分方程-常微分方程

这里讨论常微分方程.常微分方程的阶数就是函数求导的最高次数.这里以二阶线性微分方程为例. 形如方程5的称为二阶线性微分方程. 线性的概念定义为: 下面讨论 二阶线性微分方程,这些性质也可以推广到n阶线性方程: 1. 线性微分方程的解的结构 目前,式(7)不是(6)的通解.如何保证通解呢,首先引入函数组线性无关的概念: 下面讨论二阶非齐次线性方程,非齐次方程的解是齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解构成的. 非齐次方程的特解可以使用下述定理帮忙求出: 这一定理称为线性微分方程的解的叠加原理. 以

Python 进阶(五)定制类

__str__和__repr__ 如果要把一个类的实例变成 str,就需要实现特殊方法__str__(): class Person(object): def __init__(self, name, gender): self.name = name self.gender = gender def __str__(self): return '(Person: %s, %s)' % (self.name, self.gender) 现在,在交互式命令行下用 print 试试: >>>