《A First Course in Probability》-chaper4-离散型随机变量-负二项分布

基于我们最为熟悉的离散型分布——二项分布，我们能够衍生出很多别的分布列，对于之前介绍过的几何分布，我们赋予其的含义是：某个事件成功的概率是p，在n次独立重复实验中恰好成功一次的概率是多少。顺着这层含义，我们把1次编程r次，便得到了所谓的负二项分布。设负二项分布的随机变量是X，独立事件成功的概率是p，则在n次重复独立实验中恰好成功r次的概率是：

较之二项分布，我们能够看到，负二项分布更加强调n次重复实验中“恰好”成功r次，也就是要求第n次实验恰好是第r次成功的实验。

我们通过一个问题来进行举例——巴拿赫火柴问题。

Q：某个抽烟的数学家总是随身带着两盒火柴，一盒放在左边口袋一盒放在右边口袋。每次他需要火柴时，他就从任意的口袋中的火柴盒中取出一个火柴，现在两盒火柴中都各有N个火柴，那么请问他第一次发现其中一个盒子已经空了的时候，另一盒恰好有k根火柴的概率有多大？

分析：首先我们需要讨论的一个点是，这个火柴位于哪个口袋的火柴盒是空的，显然是左是右具有对称性，我们分析一种情况，进行平方即可。

假设左口袋为空，那么这个过程的最后一个步骤显然是在数学家第2N-k次取火柴的时候，必然取走了右口袋中的一根火柴，这是一位他拿走左口袋的最后一根火柴的时候，我们就可以默认理性的数学家不会再去拿左口袋的火柴盒，因此我们就可以将其与负二项分布联系起来：在2N-k次重复实验当中，恰好有N次从左口袋取出的概率。

即

当然，这个问题的最终结果应该将如上的概率平方。