https://codeforces.com/contest/487/problem/E
显然割点走过去就走不回来了...可以看出题目跟点双有关
有一个结论：如果在点双中有不同的点a,b,c，那么一定存在点不重复的路径从a到c再到b。
证明（摘自https://codeforces.com/blog/entry/14832）：
显然这样的点双中，点数>=3，因此移除任意点或任意边，仍然连通
新建一张网络流图。用边(u,v,w)表示从u到v容量为w的边
对于原点双中每一条边(u,v)，建新边(u,v,1),(v,u,1)
新建点S,T，建边(S,c,2),(a,T,1),(b,T,1)
用拆点的方法，给S,T,c外的每一个点1的容量（拆点过程略）
此时，显然如果S到T的最大流为2，那么存在合法方案
最大流=最小割。显然最小割<=2（割掉(a,T)与(b,T)的边）。割掉新图中任意一条权值为1的边（除(a,T),(b,T)），对应删除原点双的一条边或一个点，显然删除之后原图仍然连通，则新图也连通。因此最小割>1。所以最小割=2
就是说，如果走的时候要穿过一个点双（任意点开始，任意点结束），那么一定可以找到一条合法路径经过点双内权值最小的点
有一个想法：
可以点双缩点成树（圆方树）（每个点双新建一个点，向点双中所有点连边，删除原图中所有边）
（树中代表一个点双的点的权值是点双中点权的最小值）
然后查询就是树上两点路径上最小值，修改就是单点修改（每个点双用一个multiset维护点双中所有点的权值。修改非割点就直接在它属于的点双的multiset中改，如果multiset中最小值变了就对应修改维护最小值的数据结构；修改割点方法在后面），用树剖维护即可
好像还不怎么对。。割点也是属于点双的，但是修改割点权值显然不能暴力修改其属于的所有点双
看了题解，方法是：每个割点就当做属于它在缩点树中的父亲（这个父亲一定代表一个点双；如果不存在父亲就不用维护），每次修改就在这个父亲的multiset那里改；同时每次查询的时候，如果两点的lca代表一个点双，那么除两点路径上最小值外还要考虑lca的父亲（一定是个割点；如果不存在父亲就不用额外查）
然而真的码不动。。5K代码，续了一下午A掉
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #include<cstring>
4 #include<vector>
5 #include<set>
6 using namespace std;
7 #define fi first
8 #define se second
9 #define mp make_pair
10 #define pb push_back
11 typedef long long ll;
12 typedef unsigned long long ull;
13 typedef pair<int,int> pii;
14 struct E
15 {
16 int to,nxt;
17 };
18 int a[200010];
19 int n,m,qq;
20 namespace S
21 {
22 #define lc (num<<1)
23 #define rc (num<<1|1)
24 int d[800100];
25 void setx(int L,int x,int l,int r,int num)
26 {
27 if(l==r) {d[num]=x;return;}
28 int mid=l+((r-l)>>1);
29 if(L<=mid) setx(L,x,l,mid,lc);
30 else setx(L,x,mid+1,r,rc);
31 d[num]=min(d[lc],d[rc]);
32 }
33 int gmin(int L,int R,int l,int r,int num)
34 {
35 if(L<=l&&r<=R) return d[num];
36 int mid=l+((r-l)>>1);int ans=0x3f3f3f3f;
37 if(L<=mid) ans=min(ans,gmin(L,R,l,mid,lc));
38 if(mid<R) ans=min(ans,gmin(L,R,mid+1,r,rc));
39 return ans;
40 }
41 int getmin(int L,int R,int l,int r,int num)
42 {
43 if(L>R) swap(L,R);
44 //printf("19t%d %d %d\n",L,R,gmin(L,R,l,r,num));
45 return gmin(L,R,l,r,num);
46 }
47 }
48 int cnt;
49 int bno[100010];
50 bool iscut[100010];
51 namespace T
52 {
53 E e[400100];
54 int f1[200100],ne;
55 void me(int x,int y)
56 {
57 e[++ne].to=y;e[ne].nxt=f1[x];f1[x]=ne;
58 e[++ne].to=x;e[ne].nxt=f1[y];f1[y]=ne;
59 }
60 bool vis[200100];
61 int sz[200100],hson[200100],tp[200100],dep[200100];
62 void dfs1(int u,int fa)
63 {
64 sz[u]=1;
65 vis[u]=1;
66 for(int k=f1[u];k;k=e[k].nxt)
67 if(e[k].to!=fa)
68 {
69 dep[e[k].to]=dep[u]+1;
70 dfs1(e[k].to,u);
71 sz[u]+=sz[e[k].to];
72 if(sz[e[k].to]>sz[hson[u]])
73 hson[u]=e[k].to;
74 }
75 }
76 int ar[200100],lp[200100],f[200100];
77 void dfs2(int u,int fa)
78 {
79 ar[++ar[0]]=u;lp[u]=ar[0];
80 f[u]=fa;
81 if(u==hson[fa]) tp[u]=tp[fa];
82 else tp[u]=u;
83 if(hson[u]) dfs2(hson[u],u);
84 for(int k=f1[u];k;k=e[k].nxt)
85 if(e[k].to!=fa&&e[k].to!=hson[u])
86 dfs2(e[k].to,u);
87 }
88 multiset<int> s[100100];//s[i]维护i号点双里面所有非割点的权值
89 void update2(int x)
90 {
91 a[x+n]=*s[x].begin();
92 //printf("9t%d %d\n",x,a[x+n]);
93 S::setx(lp[x+n],a[x+n],1,n+cnt,1);
94 }
95 void change(int x,int y)
96 {
97 if(!iscut[x])
98 {
99 s[bno[x]].erase(s[bno[x]].find(a[x]));
100 s[bno[x]].insert(a[x]=y);
101 update2(bno[x]);
102 }
103 else
104 {
105 if(f[x])
106 {
107 s[f[x]-n].erase(s[f[x]-n].find(a[x]));
108 s[f[x]-n].insert(y);
109 update2(f[x]-n);
110 }
111 a[x]=y;
112 S::setx(lp[x],y,1,n+cnt,1);
113 }
114 }
115 int query(int x,int y)
116 {
117 if(x==y) return a[x];
118 //printf("99t%d %d\n",x,y);
119 //if(!iscut[x]) x=n+bno[x];
120 //if(!iscut[y]) y=n+bno[y];
121 int ans=0x3f3f3f3f;
122 while(tp[x]!=tp[y])
123 {
124 if(dep[tp[x]]<dep[tp[y]]) swap(x,y);
125 //printf("7t%d %d\n",x,y);
126 ans=min(ans,S::getmin(lp[x],lp[tp[x]],1,n+cnt,1));
127 x=f[tp[x]];
128 }
129 ans=min(ans,S::getmin(lp[x],lp[y],1,n+cnt,1));
130 if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
131 if(x>n&&f[x]) ans=min(ans,a[f[x]]);
132 return ans;
133 }
134 void work()
135 {
136 int i;
137 /*
138 for(i=1;i<=n+cnt;i++)
139 for(int k=f1[i];k;k=e[k].nxt)
140 printf("1t%d %d\n",i,e[k].to);
141 for(i=1;i<=n;i++)
142 printf("%d ",bno[i]);
143 puts("t2");
144 for(i=1;i<=n;i++)
145 printf("%d ",int(iscut[i]));
146 puts("t3");
147 */
148 for(i=1;i<=n+cnt;i++)
149 if(!vis[i])
150 {
151 dfs1(i,0);
152 dfs2(i,0);
153 }
154 /*
155 for(i=1;i<=ar[0];i++)
156 printf("%d ",ar[i]);
157 puts("t4");
158 for(i=1;i<=n+cnt;i++)
159 printf("%d ",lp[i]);
160 puts("t5");
161 for(i=1;i<=n+cnt;i++)
162 printf("6t%d %d\n",f[i],tp[i]);
163 */
164 for(i=1;i<=n;i++)
165 if(!iscut[i])
166 {
167 s[bno[i]].insert(a[i]);
168 S::setx(lp[i],0x3f3f3f3f,1,n+cnt,1);
169 }
170 else
171 {
172 if(f[i])
173 {
174 s[f[i]-n].insert(a[i]);
175 }
176 S::setx(lp[i],a[i],1,n+cnt,1);
177 }
178 for(i=1;i<=cnt;i++)
179 update2(i);
180 //for(i=1;i<=ar[0];i++)
181 // printf("16t%d\n",S::getmin(i,i,1,n+cnt,1));
182 }
183
184 }
185 namespace G
186 {
187 E e[200100];
188 int f1[100010],ne=1;
189 void me(int x,int y)
190 {
191 e[++ne].to=y;e[ne].nxt=f1[x];f1[x]=ne;
192 e[++ne].to=x;e[ne].nxt=f1[y];f1[y]=ne;
193 }
194 int dfc,dfn[100010];
195 pii st[100010];int tp;
196 int dfs(int u,int last)
197 {
198 //printf("3t%d %d\n",u,last);
199 int k,v,lowu=dfn[u]=++dfc,chi=0,lowv;pii x;
200 for(k=f1[u];k;k=e[k].nxt)
201 {
202 v=e[k].to;
203 if(!dfn[v])
204 {
205 st[++tp]=mp(u,v);++chi;
206 lowv=dfs(v,k);lowu=min(lowu,lowv);
207 if(lowv>=dfn[u])
208 {
209 //printf("4t%d %d\n",u,v);
210 iscut[u]=1;
211 ++cnt;
212 for(;;)
213 {
214 x=st[tp--];
215 if(bno[x.fi]!=cnt)
216 {
217 bno[x.fi]=cnt;
218 T::me(n+cnt,x.fi);
219 }
220 if(bno[x.se]!=cnt)
221 {
222 bno[x.se]=cnt;
223 T::me(n+cnt,x.se);
224 }
225 if(x.fi==u&&x.se==v) break;
226 }
227 }
228 }
229 else if(dfn[v]<dfn[u]&&k!=(last^1))
230 {
231 st[++tp]=mp(u,v);
232 lowu=min(lowu,dfn[v]);
233 }
234 }
235 if(!last&&chi==1) iscut[u]=0;
236 //printf("5t%d %d %d\n",u,lowu,dfn[u]);
237 return lowu;
238 }
239 }
240
241
242 int main()
243 {
244 char tmp[233];
245 int i,x,y;
246 scanf("%d%d%d",&n,&m,&qq);
247 for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
248 for(i=1;i<=m;i++)
249 {
250 scanf("%d%d",&x,&y);
251 G::me(x,y);
252 }
253 for(i=1;i<=n;i++)
254 if(!G::dfn[i])
255 G::dfs(i,0);
256 T::work();
257 while(qq--)
258 {
259 scanf("%s%d%d",tmp,&x,&y);
260 if(tmp[0]==‘C‘)
261 {
262 T::change(x,y);
263 }
264 else
265 {
266 printf("%d\n",T::query(x,y));
267 }
268 }
269 return 0;
270 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/hehe54321/p/9803900.html
时间： 2024-10-14 19:42:09