均值不等式的来龙去脉

一、为什么叫均值不等式？

来自百度百科的说明，表达式\(H_n\leq G_n\leq A_n\leq Q_n\)被称为均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

已知对于\(n\)个实数\(x_1，x_2，\cdots，x_n\)而言，

\(H_n=\cfrac{n}{\sum\limits_{k=1}^n{\cfrac{1}{x_k}}}=\cfrac{n}{\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}+\cdots+\cfrac{1}{x_n}}\)，被称为调和平均数；\(G_n=\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n{x_k}}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\)，被称为几何平均数；

\(A_n=\cfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x_k}}{n}=\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)，被称为算术平均数；\(Q_n=\sqrt{\cfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x^2_k}}{n}}=\sqrt{\cfrac{x^2_1+x^2_1+\cdots+x^2_n}{n}}\)，被称为平方平均数；

由于上述不等式的四个部分，分别代表了\(n\)个实数的四种不同形式的(均值)平均数，所以经常被称作均值不等式。

在高中阶段，当\(n=2\)时，比如已知两个正实数\(a，b\)，比照上面我们就有了：
\(H_2=\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}=\cfrac{2ab}{a+b}\)，称为两个正实数\(a，b\)的调和平均数；

\(G_2=\sqrt{ab}\)，称为两个正实数\(a，b\)的几何平均数；

\(A_2=\cfrac{a+b}{2}\)，称为两个正实数\(a，b\)的算术平均数；

\(Q_2=\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}\)，称为两个正实数\(a，b\)的平方平均数；

这样我们就得到了一个重要的不等式组： \(\bbox[10px,yellow,border:2px dashed red]{\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}= \cfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}}\)

二、如何证明(高中阶段的均值不等式)

一个公知的数学常识：对于任意的实数\(x，y\in R\)，\((x-y)^2\ge 0\)，将其展开就得到\(x^2+y^2\ge 2xy\)。

此时我们做个代换，令\(x=\sqrt{a}\)，\(y=\sqrt{b}\)，代入上式就得到\((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2\ge 2\sqrt{ab}\)，其中\(a\ge 0，b\ge 0\)

实际应用中常常不考虑为零的情形，故有：\(\cfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}(a，b>0)[当且仅当a=b时取到等号]\)，下来以此为基础我们证明其他部分

由\(\cfrac{1}{a}\rightarrow a\)，\(\cfrac{1}{b}\rightarrow b\)， 代入上式得到\(\cfrac{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}{2}\ge\sqrt{\cfrac{1}{ab}}(a，b>0)\)，变换即得到\(\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{a}}\leq \sqrt{ab}[当且仅当a=b时取到等号]\)；

由\(a^2+b^2\ge 2ab\)，两边同加\(a^2+b^2\)，得到\(2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2\)，开方得到\(\sqrt{2(a^2+b^2)}\ge a+b\)，两边同除以2，得到\(\cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}[当且仅当a=b时取到等号]\)；

故有：\(\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}= \cfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}[当且仅当a=b时取到等号]\)

三、几个常用的结论

• \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

证明：\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\)，打开整理就是 \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)(当且仅当\(a=b=c\)时取到等号)；

重要不等式的实际应用举例：

设\(A、B、C、D\)是半径为2的球面上的四点，且满足\(AB\perp AC\)，\(AD\perp AC\)，\(AB\perp AD\)，则\(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}\)的最大值是________.

分析：结合题意，依托球内接长方体，则球体的直径的平方等于三个长方体的长宽高的平方和，

故设\(AB=a\)，\(AC=b\)，\(AD=c\)，则有\(a^2+b^2+c^2=4^2=16\)；

由重要不等式可知，\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(当且仅当\(a=b=c\)时取等号)；

则\(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}=\cfrac{1}{2}(ab+bc+ac)\leq \cfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=8\)；

即所求的最小值为8。

• 已知\(a>0,b>0,a+b=1\)，可知\(ab\)的范围。

分析：\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，故有\(0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\)，即\(0< ab\leq \cfrac{1}{4}\)。

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