UVA 11440 - Help Tomisu

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题意：给定n和m，求[2,n!]中，所有质因子个数都大于m的个数

思路：?(m!)表示小于m!并与m!互质的个数，而与m!互质的个数，他的质因子肯定不包含1-m，因此就是满足条件的。然后对于这题而言，则是要求n!中，不与m!互质的个数，答案取模100000007

那么先看一个证明：

求kn中与n互质的个数，答案为k?(n)。

?(n)表示1-n中与n互质的个数，那么由此考虑[n
+ 1, 2n], [2n + 1, 3n]...这每个区间中的每个数字都等于1-n中数字加上kn,对于原来就与n不互质的个数，加上n仍会有一个质因子重复，所以仍然不行，那么对于原来互质的数x,gcd(x, n) = 1,那么可知gcd(x + kn, n) = 1，仍然是互质的，所以每隔n的区间与n互质的个数是相同的，所以答案k?(n)

所以对于这道题目，答案就变成了n!/m!?(m!)，那么问题只剩下如何求?(m!)。

已知?(n)求法为n?(1?1/p1)?(1?1/p2)....(1?1/pn)
(p为n的质因子)，因此对于m!而言，分子为m!，分母为1
- m所有质数的(1?1/p)之乘积

到这里答案就可以求了，把m!消掉，得到n!/∏(1?1/pi)mod1000000007，先预处理那些表，每次去计算即可

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const long long N = 10000005;
const long long mod = 100000007;

long long ispri[N], fac[N], phi[N];

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (!b) {x = 1; y = 0; return a;}
    long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

long long inv(long long a, long long n) {
    long long x, y;
    exgcd(a, n, x, y);
    return (x + n) % n;
}

void get_table() {
    fac[0] = fac[1] = 1; phi[0] = phi[1] = 1;
    for (long long i = 2; i < N; i++) {
	fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
	if (ispri[i]) {
	    phi[i] = phi[i - 1];
	    continue;
	}
	phi[i] = phi[i - 1] * (i - 1) % mod * inv(i, mod) % mod;
	for (long long j = i * i; j < N; j += i)
	    ispri[j] = 1;
    }
}

int n, m;

int main() {
    get_table();
    while (~scanf("%d%d", &n, &m) && n) {
	printf("%lld\n", ((fac[n] * phi[m] - 1) % mod + mod) % mod);
    }
    return 0;
}

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