Problem code: LCMSUM |
Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.
Input
The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n.
Output
Output T lines, one for each test case, containing the required sum.
Example
Sample Input :
3
1
2
5
Sample Output :
1
4
55
Constraints
1 <= T <= 300000
1 <= n <= 1000000
题意：sigma(lcm(i,n)) ; 1<=i<=n
思路：题意倒是很简单，有类似的题目sigma(gcd(i,n)) ;1<=i<=n;
一看就是果然是同类型的。
gcd(i,n)的题目 http://www.cnblogs.com/tom987690183/p/3247439.html
这个是求lcm（）最小公倍数.
同样的思路，我们枚举gcd() = d 则在[ 1 , n ]中与n最大公约数为d的值有euler(n/d)个.
这些数的和为euler(n/d)*n/2; 我们知道lcm = x*n/(gcd(x,n)) = > x*n/d ;
因为与n gcd（） = d的数字为x1,x2,x3....
根据lcm = x*n/(gcd(x,n)) 可以得到 (n/d)*(x1+x2+x3...) => [euler(n/d)*n/2]*(n*d);
这里需要注意的是当gcd(i,n) = n的时候，用euler(n)*n/2算的时候是不对的，就特判吧。
这样的思路，我们就可以试一下打欧拉表opl[ ],需要时间o(N);
然后对于n，要用sqrt(n)的时间。
T*sqrt(n)+o(N) = 3^8+10^6.果断超时。以为能ac，吼吼。
1 #include<iostream>
2 #include<stdio.h>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdlib>
5 using namespace std;
6 typedef long long LL;
7
8 const int maxn = 1e6+3;
9 int opl[maxn];
10 void init()
11 {
12 for(int i=1;i<maxn;i++) opl[i] = i;
13 for(int i=2;i<maxn;i++)
14 {
15 if(opl[i]==i) opl[i] = i-1;
16 else continue;
17 for(int j=i+i;j<maxn;j=j+i)
18 opl[j] = opl[j]/i*(i-1);
19 }
20 }
21 int main()
22 {
23 int T;
24 LL n;
25 init();
26 scanf("%d",&T);
27 while(T--)
28 {
29 scanf("%lld",&n);
30 LL sum = 0;
31 for(LL i=1;i*i<=n;i++)
32 {
33 if(n%i==0)
34 {
35 if(i!=n)
36 sum = sum + (n/i)*(opl[n/i]*n/2);
37 LL tmp = n/i;
38 if(tmp!=i && tmp!=n)
39 sum = sum + i*(opl[i]*n/2);
40 }
41 }
42 printf("%lld\n",sum+n);
43 }
44 return 0;
45 }
这样的话，是不行了。
原始相当于
也就能转化为（easy)
这样的话，我们就能单独的求出euler(a)*a/2;然后用它来筛选g[n]的值。
（x|n的意思代表 n是x的倍数）
我们想到在第一种方法里，我们用sqrt（n）来求它的因子的方法。
同理，逆向一下就好。
这样我们只需要o(N) 的时间对g[]进行筛选。总的预处理时间
3*o(N) = > 3*10^6;
完毕。
需要注意的是，我们没有把gcd() = n的情况包含进去，所以最后要+n。
代码：
1 #include<iostream>
2 #include<stdio.h>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdlib>
5 using namespace std;
6 typedef long long LL;
7
8 const int maxn = 1e6+3;
9 LL opl[maxn];
10 LL g[maxn];
11 void init()
12 {
13 for(int i=1;i<maxn;i++) opl[i] = i;
14 //这种方法筛选素数，不用和以前一样要先刷素数，还开num[];
15 for(int i=2;i<maxn;i++)
16 {
17 if(opl[i]==i)
18 opl[i] = i-1;
19 else continue;
20 for(int j=i+i;j<maxn;j=j+i)
21 opl[j] = opl[j]/i*(i-1);
22 }
23 for(int i=2;i<maxn;i++){
24 opl[i] = opl[i]*i/2;
25 g[i] = opl[i];
26 }
27 for(long long i=2;i<=1000;i++) //这里的i 不能用int，肯定会超int的
28 {
29 for(long long j=i*i,k=i;j<maxn;j=j+i,k++)
30 if(i!=k) //不重复
31 g[j] = g[j] + opl[i]+opl[k];
32 else g[j] = g[j] + opl[i];
33 }
34 }
35 int main()
36 {
37 init();
38 int T;
39 LL n;
40 scanf("%d",&T);
41 while(T--)
42 {
43 scanf("%lld",&n);
44 printf("%lld\n",g[n]*n+n);
45 }
46 return 0;
47 }