前言：这是蒟蒻第一次写算法系列，请诸位大佬原谅文笔与排版。
一、导入
在刷题的时候，我们有时会见到这样一类问题：在区间$[l,r]$内，共有多少个整数满足某种条件。如果$l$和$r$间的差很小，我们可以考虑暴力枚举直接判断。然而，若$l<=r<=10^9$甚至更大呢？
这时往往就可以用到一种dp方式：数位dp。
二、做法：
这里先放一道例题：1026: [SCOI2009]windy数。
题意：求在区间$[l,r]$内，满足相邻数位的差>=2的整数的个数。
首先我们可以发现，$[l,r]$的答案=$[1,r]$的答案-$[1,l)$的答案。于是我们可以把问题转化为求$[1,r]$和$[1,l-1]$的答案。因为$l<=r<=2*10^9$，所以暴力枚举肯定行不通。但是我们可以发现这道题中整数需满足的条件只与相邻数位有关，这启示我们，也许可以按位dp？
我们先来看一张经典的图（表示区间$[0,22]$）：
这幅图中把正整数按位用树的形式表示，那么区间$[0,x]$（这里x=22）就可以拆成多棵满10叉树（即图中的蓝圈），而且因为每层所用的树个数不会超过10棵（0~9），总共有$\log_{10}{x}$层，则树的个数规模为$O(10\log{x})$。
那么单棵满10叉树的答案怎么求呢？我们仔细观察这棵树，那么就可以发现每棵满10叉树表示的数是位数相同（等于它从下往上数所处的层数），最高位相同（等于根节点表示的数），且该树的答案只与以树根的10个儿子为根的，10棵子树的答案有关。并且在整棵树中，处在同一层的，且子树根节点表示的数相同的树（即位数相同，最高位相同），它们是等价的。于是我们就可以直接设$f[i][j]$表示有i位，最高位为j的满足条件的整数的个数，然后xjb转移。于是就可以优哉游哉地dp， 然后按图统计答案了。
不过这道题还是比较麻烦，因为需要排除前导零的影响，不过核心思想还是上面的那样，然后再分位数统计就好了。
代码（时间复杂度$O(10^2\log{r})$）：
bzoj1026
三、归纳：
数位dp的特征：数据规模大，统计整数个数，被统计的数满足的条件往往与数位之间的关系或数位间的运算有关。
基本做法：差分，先按位dp出所需数据（$f[i][S]$->i位数，状态为S），然后再拆分原区间，用dp出的数据统计。
四、其他例题：
to be continued……（以后吧。。。）
原文地址：https://www.cnblogs.com/quzhizhou/p/9245648.html