【BZOJ 1008】[HNOI2008]越狱

1008: [HNOI2008]越狱

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 5535  Solved: 2370
[Submit][Status][Discuss]

Description

监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

这是一道简单的组合数学问题。

全部情况有mⁿ种方案。不可能发生越狱情况的有m*(m-1)^(n-1)种。

前者好理解一点，后者我要说一下为什么。

我们把这个问题抽象成一个模型，格子染色。要求相邻两个格子染的颜色不同有多少种方案。

首先，第一个格子是可以染m种颜色。第二个格子为了不和前一个格子冲突所以可以染m-1种颜色，以此类推。

就得出结论，除了第一个格子外其余格子只可以染m-1种颜色。

最后，答案就是mⁿ-m*(m-1)^(n-1)，最后再取个模就行了。

计算n次方我们可以用快速幂。

时间复杂度O(log₂n)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

const int MOD = 100003;

long long n;
long long m;

long long pw(long long a, long long b)
{
    if (a == 0 || a == 1) return a;
    bool p[100];
    int len = 0;
    long long ans;
    do
    {
        p[len++] = (b & 1);
        b >>= 1;
    } while (b);
    ans = 1;
    for (int i = len - 1; i >= 0; --i)
    {
        ans = ans * ans % MOD;
        if (p[i]) ans = (ans * (a % MOD)) % MOD;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> m >> n;
    cout << ((pw(m, n) - (m % MOD) * pw(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD) << endl;
    return 0;
}