斐波那契（Fibonacci）数列
问题描述
递归算法：
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2 /**
3 * Fibonacci数列递归求解
4 * @author DELL
5 *
6 */
7 public class Fibonacci1 {
8 public static int fibonacci(int n){
9 if(n<=0)
10 return 0;
11 else if(n==1)
12 return 1;
13 else
14 return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
15 }
16 public static void main(String[] args) {
17 int n = 3;
18 System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));
19
20 }
21
22 }
我们的问题是：有没有更加优化的解法？
分析与解法
【解法一】递推关系的优化
上述递归算法中有着很多的重复计算，利用一个数组存储中间结果避免重复计算。时间复杂度为O(N)，空间复杂度也为O(N)。
算法如下：
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2 /**
3 * Fibonacci数列求解
4 * 【解法一】递推关系的优化
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class Fibonacci2 {
9 private static int f[];
10 public Fibonacci2(int n){
11 f = new int[n+1];
12 for(int i=0;i<n;i++){
13 f[i]=-1;
14 }
15 }
16 public static int fibonacci(int n){
17 if(n<=0){
18 f[0]=0;
19 return 0;
20 }
21 else if(n==1){
22 f[1]=1;
23 return 1;
24 }
25 else{
26 if(f[n-1]==-1){
27 if(f[n-2]==-1)
28 return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
29 else
30 return fibonacci(n-1)+f[n-2];
31 }else{
32 return f[n-1]+f[n-2];
33 }
34 }
35 }
36 public static void main(String[] args) {
37 int n = 3;
38 new Fibonacci2(n);
39 System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));
40
41 }
42
43 }
程序运行结果如下：
fibonacci(3) = 2
【解法二】采用非递归求解
算法如下：
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2 /**
3 * Fibonacci数列求解
4 * 【解法二】非递归
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class Fibonacci3 {
9 public static int fibonacci(int n){
10 if(n<=0)
11 return 0;
12 else if(n==1)
13 return 1;
14 else{
15 int f0 = 0,f1 = 1,f2 = 0;
16 for(int i=2;i<=n;i++){
17 f2 = f0 + f1;
18 f0 = f1;
19 f1 = f2;
20 }
21 return f2;
22 }
23 }
24 public static void main(String[] args) {
25 int n = 3;
26 System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));
27
28 }
29
30 }
程序运行结果如下：
fibonacci(3) = 2
【解法三】求解通项公式
算法代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2 /**
3 * Fibonacci数列求解
4 * 【解法三】求解通项公式
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class Fibonacci4 {
9 public static long fibonacci(int n){
10 double x = Math.sqrt(5);
11 double f = (x/5)*Math.pow((1+x)/2, n) - (x/5)*Math.pow((1-x)/2, n);
12 return Math.round(f);
13 }
14 public static void main(String[] args) {
15 int n = 3;
16 System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));
17
18 }
19
20 }
程序运行结果如下：
fibonacci(3) = 2
【解法四】分治策略
要先导入JAMA：Java矩阵包
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2
3 import Jama.Matrix;
4
5 /**
6 * Fibonacci数列求解
7 * 【解法四】分治策略
8 * @author DELL
9 *
10 */
11 public class Fibonacci5 {
12 //求解矩阵A的n次方
13 public static Matrix MatrixPow(Matrix A, int n){
14 int m = A.getColumnDimension();
15 Matrix result = new Matrix(m,m); //生成全为0的矩阵
16 for(int i=0;i<m;i++){ //变成单位矩阵
17 result.set(i, i, 1);
18 }
19 Matrix temp = A;
20 while(n!=0){
21 if((n&0x01)==1)
22 result = result.times(temp); //矩阵的乘法
23 temp = temp.times(temp);
24 n >>= 1;
25 }
26 return result;
27 }
28 //计算Fibonacci数列
29 public static long fibonacci(int n){
30 if(n<=0)
31 return 0;
32 else if(n==1)
33 return 1;
34 else{
35 Matrix A = new Matrix(2,2,1); //生成全为1的矩阵
36 A.set(1, 1, 0);
37 Matrix B = MatrixPow(A, n-1);
38 return (long) B.get(0, 0);
39 }
40 }
41 public static void main(String[] args) {
42 int n = 5;
43 System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));
44
45 }
46
47 }
程序运行结果如下：
fibonacci(5) = 5
扩展问题
假设A(0)=1，A(1)=2，A(2)=2。对于n>2，都有A(K) = A(k-1) + A(k-2) +A(k-3)。
1. 对于任何一个给定的n，如何计算出A(n)?
2. 对于n非常大的情况，如n=260的时候，如何计算A(n) mod M (M<100000)呢？
问题1：非递归解法，代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2 /**
3 * 扩展问题1求解
4 * 非递归
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class Fibonacci6 {
9 public static int A(int n){
10 if(n<=0)
11 return 1;
12 else if(n==1||n==2)
13 return 2;
14 else{
15 int f0 = 1,f1 = 2,f2 = 2,f3 = 0;
16 for(int i=3;i<=n;i++){
17 f3 = f0 + f1 + f2;
18 f0 = f1;
19 f1 = f2;
20 f2 = f3;
21 }
22 return f3;
23 }
24 }
25 public static void main(String[] args) {
26 int n = 4;
27 System.out.println("A("+n+") = "+A(n));
28
29 }
30
31 }
程序运行结果如下：
A(4) = 9
问题2：非递归解法，代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
2 /**
3 * 扩展问题2求解
4 * 非递归
5 * @author DELL
6 *
7 */
8 public class Fibonacci7 {
9 //计算A(n) mod m
10 public static long A(long n,long m){
11 if(n<=0)
12 return 1;
13 else if(n==1||n==2)
14 return 2;
15 else{
16 long f0 = 1,f1 = 2,f2 = 2,f3 = 0;
17 for(int i=3;i<=n;i++){
18 f0 = f0%m;
19 f1 = f1%m;
20 f2 = f2%m;
21 f3 = f0 + f1 + f2;
22 f0 = f1;
23 f1 = f2;
24 f2 = f3;
25 }
26 return f3%m;
27 }
28 }
29 public static void main(String[] args) {
30 long n = (long) Math.pow(2, 10);
31 long m = 100;
32 System.out.println("A("+n+") = "+A(n,m));
33
34 }
35
36 }
程序运行结果如下：
A(1024) = 97
时间： 2024-10-08 18:25:17