欧拉回路

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Problem Description

欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个图，问是否存在欧拉回路？

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是节点数N ( 1 < N < 1000 )和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。当N为0时输入结
束。

Output

每个测试用例的输出占一行，若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

Sample Input

3 3

1 2

1 3

2 3

3 2

1 2

2 3

0

Sample Output

1

0

算法分析：此题考察欧拉回路是否存在。要知道欧拉回路和欧拉道路是不一样的。欧拉回路存在则一定存在欧拉道路，但是欧拉道路存在则不一定存在欧拉回路！

因为欧拉道路不一定是一个回路，也就是说，只要能把所有的节点连接起来就是一条欧拉道路了，但不一定能顺利回到起点。

关于欧拉路径问题的理论总结：

1）能否从一个无向图的一个节点出发走出一条道路，每条边恰好经过一次，这样的路线成为欧拉回路。“就是一个一笔画”

2）欧拉道路存在定理：如果一个无向图是连通的，且最多只有2个奇点，则一定存在。  （奇点：节点度数为奇数的点）

如果有2个奇点，则必须从其中一个出发，另一个奇点终止。

如果奇点不存在，则可以从任意节点出发，最终定会回到该点。

3）有向图下的理论：

大前提：  在忽略边的方向后，图必须是连通的，否则不可能存在欧拉道路。

有向图最多只能有两个节点的入度不等于出度，而且必须是出度比入度大1的节点做起点，入度比出度大1的节点做终点。

此题的代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#define N 1000+2

using namespace std;
bool map[N][N];
int odd[N];
bool vis[N];
int n;

void dfs(int dd) //测试图的连通性
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(!vis[i] && map[dd][i]==true )
        {
            vis[i]=true;
            dfs(i);
        }
    }
}

int main()
{
    int m;
    int i, j;
    int dd; //计数奇点的数目
    int u,v;

    while(scanf("%d", &n)!=EOF)
    {
        if(n==0)
            break;
        scanf("%d", &m);
        for(i=0; i<=n; i++)
        {
            for(j=0; j<=n; j++)
            {
                map[i][j]=false;
            }
        }
        memset(odd, 0, sizeof(odd));

        for(i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d %d", &u, &v);
            map[u][v]=true;
            map[v][u]=true;
            odd[u]++;
            odd[v]++;
        }
        for(i=1; i<=n; i++)
            vis[i]=false;

        int ans=0; //计算连通分量的个数
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            if(!vis[i])
            {
                ans++;
                vis[i]=true;
                dfs(i);
            }
        }
        if(ans==1) //连通分量的个数为1，说明图是连通的
        {
            dd=0;
            for(i=1; i<=n; i++ )
            {
                if(odd[i]%2==1) //统计奇点的个数
                    dd++;
            }
            if( dd==0 ) //如果奇点的个数为0，则说明存在欧拉回路
                printf("1\n");
            else
                printf("0\n");
        }
        else
            printf("0\n");
    }
    return 0;
}