最长递减子序列（转载）

Q：例如：有一个序列，例如 9 8 2 1 7 5 3 4 3 2 1.
     求出最长的递减子序列。如本例的结果就是：9 8 7 5 4 3 2 1。

分析：

可采用动态规划的思想进行解答，时间复杂度为O(n^2).

设原数组为a[1....n]。另设一数组d[1....n],其中d[i]表示从第i个元素开始（一定包含第i个元素），到整个数组末尾的子序列 a[i...n]中的最长递减子序列的长度。
       则本问题就是要在求出d[1]的同时，恢复出最优解。

下面给出递推式：

d[i]的值分两种情况：
1、当i=n时，d[i]=1。即最后一个元素的序列的最大递减子序列中只有它自己。

2、当i<n时，d[i]=max{d[k]| i<k<=n 且a[i]>a[k]} +1。解释意思为，包含第i个元素的序列a[i...n]的最大子序列依赖于i后面所有的序列中比a[i]小（满足递减
特性），且最大的d[k]（满足最 优特性）值再加1（加上a[i]元素）。在给d[i]赋值的时候只需记录p[i]=k,既可以作为parent属性恢复出解。

具体实现的话，开两个数组d[n],p[n]，外层循环从后往前选取i，内层循环从i往后寻找最优的k,双循环遍历即可求出所有的d[i]。然后 再进行一次O（n)操作，找出最大的d[max]。恢复解的话，可以从p[max]开始，依次恢复出各个解。

 #include <iostream.h>
 2
 3 void longest_decrease_sub(int *a, int size)
 4 {
 5
 6     int *d=new int[size]; //分配内存空间
 7     int *p=new int[size];  //分配内存空间
 8
 9     d[size-1]=1;
10
11     for(int i=size-1;i>=0;i--)
12     {
14         int max=0;
16         int index=0;
17
18         for(int j=i;j<size;j++)
19         {
21             if(a[i]>a[j] && max <d[j])
22             {
24                 max=d[j];
26                 index=j;
28             }
30         }
31
32         if(max==0)
33         {
34
35             d[i]=1;
36
37             p[i]=-1;
38
39         }
40         else
41         {
42
43             d[i]=max+1；
45             p[i]=index;
47         }
49     }
51     //寻找最大子序列的起始下标
53     int max=0;
55     int max_index=0;
57     for( i=0;i<size;i++)
58     {
60         if(d[i]>max)
61         {
62
63             max=d[i];
64
65             max_index=i;
66
67         }
69     }
70
71     //从最大子序列的下标开始 输出子序列
72     cout<<"\n最长递减子序列的长度为："<<d[max_index]<<",最长子序列为："<<ends;
73
74     for( i=max_index;i!=-1;i=p[i])
75     {
76
77         cout<<a[i]<<" "<<ends;
78
79     }
80
81     delete [] d;
82
83     delete [] p;
84
85 }
86
87 void main()
88 {
89     int data[10]={1,2,5,4,3,2,7,8,9,0};
90     longest_decrease_sub(data,10);
91 }

另外一个代码版本：

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 using namespace std;
 4
 5
 6 int main()
 7 {
 8     int n,m;
 9     cin>>n;
10     while (n--) {
11         cin>>m;
12         vector<int>b(m);
13         vector<int>f(m);
14         for(int i=0;i<m;i++)
15         {
16             cin>>b[i];
17             f[i]=1;
18         }
19         for(int i=1;i<m;i++)
20             for(int j=0;j<i;j++)
21             {
22                 if(b[j]>=b[i]&&f[j]+1>f[i])
23                     f[i]=f[j]+1;
24             }
25         int max=1;
26         for(int i=0;i<m;i++)
27         {
28             if(f[i]>max)
29                 max=f[i];
30         }
31         cout<<max<<endl;
32     }
33     return 0;
34 }