问题：
拿POJ 2533来说。
Sample Input
7
1 7 3 5 9 4 8
Sample Output(最长上升/非降子序列的长度)
4
解法一(O(n^2)):
如何把这个问题分解成子问题呢？经过分析，发现 “求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。
由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。假定MaxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：
MaxLen (1) = 1
MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1<i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
这个状态转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。
实际实现的时候，可以不必编写递归函数，因为从 MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2)，有了MaxLen(1)和MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……
解法二(O(nlog(n)))：
这个算法其实已经不是DP了，有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。
这个算法的具体操作如下(by RyanWang):
开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。
这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的‘‘潜力‘‘增大了。
举例：原序列为1，5，8，3，6，7
栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。
最终栈里的元素不是符合要求的子序列，所以该方法不能实现打印。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <assert.h>
using namespace std;
std::vector<int> v;
std::vector<int> seq;
int len;
int record[10000];
int before[10000];
int stack[10000];
int stackSize;
bool bujian=false;
void input(){
cin >> len;
for(int i = 0 ; i < len ; i++){
int a;
cin >> a;
v.push_back(a);
record[i] = 0;
before[i] =-1;
}
stackSize = 0;
}
void output(){
cout << len<<endl;
for(int i = 0 ; i < v.size() ; i++){
cout << v[i]<<" ";
}
}
//O(n^2)
int algorithm1(){
record[0] = 1;
for (int i = 1 ; i < len; i++){
for (int j = 0 ; j < i; j++){
if (bujian){
if (v[j] <= v[i] && (record[i] < (record[j]+1)) ){//不减版本
record[i] = record[j]+1;
before[i] = j;
}
}
else{
if (v[j] < v[i] && (record[i] < (record[j]+1)) ){//不减版本
record[i] = record[j]+1;
before[i] = j;
}
}
}
}
int maxx = -1;
int finalIndex;
for (int i = 0 ; i < len; i++){
if (record[i] > maxx){
maxx = record[i];
finalIndex = i;
}
}
while(finalIndex!=-1){
seq.push_back(v[finalIndex]);
finalIndex = before[finalIndex];
}
reverse(seq.begin(), seq.end());
// for (int i = 0 ; i < len; i++){
// cout << record[i]<< " ";
// }
// cout << endl;
return maxx;
}
//不减版本
int binSearch(int s,int e, int value){
if (e-s == 1){
if (stack[s] > value){
return s;
}
else{
return s+1;
}
}
int middle = (e+s)/2;
if (value == stack[middle]){
if (bujian) while(value == stack[++middle]){}//这里决定是否要递增，或者不减.注释为递增
return middle;
}
if(value < stack[middle]){
assert(s!=middle);
return binSearch(s,middle, value);
}
else{
return binSearch(middle,e, value) ;
}
}
//O(nlog(n))
int algorithm2(){
stackSize++;
stack[stackSize-1] = v[0];
for (int i = 1 ; i < len; i++){
if (bujian){
if(v[i] >= stack[stackSize-1] ){//这里决定是否要递增，或者不减.>为递增，>=为不减
stackSize++;
stack[stackSize-1] = v[i];
}
else{
int index = binSearch(0,stackSize,v[i]);
stack[index] = v[i];
}
}
else{
if(v[i] > stack[stackSize-1] ){//这里决定是否要递增，或者不减.>为递增，>=为不减
stackSize++;
stack[stackSize-1] = v[i];
}
else{
int index = binSearch(0,stackSize,v[i]);
stack[index] = v[i];
}
}
}
return stackSize;
}
int main(){
input();
int a1 = algorithm1();
int a2 = algorithm2();
if (a1!=a2){
cout << "wrong! a1="<<a1<< " a2="<<a2<<endl;
for (int i = 0 ; i < a1 ; i++){
cout << seq[i]<<" ";
}
}
else{
cout <<"max length is " << a1<<endl;
for (int i = 0 ; i < a1 ; i++){
cout << seq[i]<<" ";
}
}
//output();
return 0;
}