题目：定义Fibonacci序列如下：f(0)=0，f(1)=f(2)=1，n>2时，f(n)=f(n-1)+f(n-2) ，输入n ，用最快的方法求该数列的第 n 项。
分析：
首先递归求法肯定都会，但是由于递推关系的形式，很容易看出里面有很多的重复计算。改进的方法也很容易想到，即申请额外的两个空间来存放保存前面的计算结果，以此来提供速度：
参考代码：
1: int getNthFibonacci(int n)
2: {
3: int first=0,second=1;
4: if(n==0 || n==1)
5: return n;
6:
7: int result=0;
8: for(int i=1;i<n;i++)
9: {
10: result += first+second;
11: first=second;
12: second=result;
13: }
14: return result;
15: }
这里时间复杂度为O(n)，网上还有一种时间复杂度为log(n)的算法，思想如下：
其数学基础：方阵{ f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2) } = {1, 1, 1,0 }n-1
即前者表示一个2X2的方阵，后者表示一个第一行为1,1、第二行为1,0的方阵的n-1次方。矩阵{1,1,1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)，可以用归纳法证明，比较简单。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
/ an/2*an/2 n为偶数时
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时
要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
参考代码：
1: #include<stdlib.h>
2: #include<stdio.h>
3: #include<string.h> //memcpy
4:
5: void multiply(int A[], int B[], int result[])
6: {
7: result[0] = A[0]*B[0] + A[1]*B[2];
8: result[1] = A[0]*B[1] + A[1]*B[3];
9: result[2] = A[2]*B[0] + A[3]*B[2];
10: result[3] = A[2]*B[1] + A[3]*B[3];
11: }
12:
13: void power(int A[], int n, int result[])
14: {
15: if (n==1)
16: {
17: memcpy(A, result, 4*sizeof(int));
18: return;
19: }
20: int tmp[4];
21: power(A, n>>1, result);
22: multiply(result, result, tmp);
23:
24: if (n & 1 == 1)
25: {
26: multiply(tmp, A, result);
27: }
28: else
29: {
30: memcpy(result, tmp, 4*sizeof(int));
31: }
32: }
33:
34: int getNthFibonacci(int n)
35: {
36: int A[4] = {1,1,1,0};
37: int result[4]={1,1,1,0};
38: power(A, n, result);
39:
40: return result[0];
41: }
42:
43:
44: int main()
45: {
46：int n
47: while(scanf("%d",&n))
48: {
49: if(n==-1)
50: break;
51: if(n==0 || n==1)
52: printf("n=%d,result=%d\n",n,n);
53: else
54: printf("n=%d,result=%d\n",n,getNthFibonacci(n-1));
55: }
56: getchar();
57: return 0;
58: }
时间： 2024-09-28 03:36:13