前言
在那里，有一个神秘的世界。一个隐蔽的，充满美丽和优雅的平行宇宙，错综复杂地缠绕着我们。这就是数学的世界。同时对我们之中的大多数人，它是不可见的。而本书就是一张请帖，邀请你去发现这个关于数学的世界。
考虑一下这个自相矛盾的地方，一方面，数学存在于我们生活中的一针一线中，每次我们进行线上购物，发送一条短信，在网络上进行一次搜索，或者使用GPS设备，数学公式和算法都在其中扮演着的作用。而另一方面，大多数人对数学心存胆怯，用诗人Hans Magnus Enzensberger的话讲，数学已经成为了“我们文化中的一个盲点——异国他乡，数学在那里是只有少数的精英用能力挖掘的宝藏”，这种情况很少见，他继续说：“我们遇见了一个人，他激烈的警告说‘读一本小说，看一幅图画，或者看一场电影，仅仅这样的思想会让他有无法忍受的煎熬’，同时明智的，受过良好教育的人们往往也会用明显的，夹杂着蔑视与骄傲的口气说‘数学是纯粹的折磨和噩梦，因此对数学也不闻不问’”。
怎么可能会有如此不寻常的现象？我认为有两个主要的原因。第一，相比其他领域，数学更为抽象，因此更不容易入门。第二，我们在学校所学的数学知识，只是数学中很小的一部分，它们中的大部分都是一千年以前所建立起来的。数学从那时起，就已经有了突飞猛进的发展，但现代数学中的宝藏仍然并不被我们所了解。
如果你在学校的艺术课里，老师只是教给你如何画一个篱笆，那会是什么后果？如果你从未看到过达芬奇和毕加索的作品，你有会如何？这样的话，你还会对艺术有所感悟吗？还会想要更多的了解它吗？我深表怀疑。你大概会有如下这样的感慨：“在学校学习艺术就是在浪费我的时间。如果我曾经需要对我的篱笆涂上颜料，我只需要雇人来帮我做这些就可以。”。当然，这听起来有点可笑，但数学的教育就是这样的情况，因此在多数人的眼里，它就是在无所事事的看着颜料变干。正当那些伟大的大师的作品被人们所熟识，而数学却仍然被尘封。
但是，数学的迷人之处，并不仅仅是审美角度的那种美感而已。如同伽利略著名的讲话所说“自然的法则是用数学的语言所书写”。数学史描述现实，并指出这个世界运转的方式，是宇宙的语言，是真理的黄金准则。在我们的世界里，在科学技术的持续驱动下，数学成为日益成为了力量，财富和进步的源泉。因此那些流淌在这么新语言中的数学知识都将体现在进步的尖端技术中。
关于数学，一个常见的混淆概念就是数学只能当做工具来使用：一个生物学家说，数学可以在一些领域祈祷作用，收集数据，然后试图建立一个数学模型来匹配这些数据（或许，借助某个数学家的帮助）。如果这是流程中非常重要的一个模式，数学能给我们共享更多：它能够带来开创性的，思维方式上的跳跃，而没有数学，我们对此一筹莫展。举个例子，当爱因斯坦明白了重力引起了空间的弯曲时，他并不会试图让任何数据去吻合公式，。实际上，也没有任何数据可以用来验证。在那个时候，没人能够想象到我们的空间可以弯曲；曾经所有的人都认为世界是平的！爱因斯坦明白能够归纳他的狭义相对论的唯一方式就是非惯性的系统，同时他的洞察力也告诉自己，重力和加速度也具有相同的非惯性的作用。这就是在数学领域，一个高级别的智力练习，在这里，爱因斯坦依靠数学家的身份来开展研究。Bernhard Riemann,早在五十年前就已经发现，人类的大脑被一种因素所困扰，这就是无法设想超过两个维度的空间会弯曲的情景；我们只能借助数学来理解它们。而且猜测，爱因斯坦得出的结论是正确的——我们的宇宙是弯曲的，甚至还在扩展。这就是我现在所讨论的数学的力量。
类似的很多例子都可能会找到，而且不仅仅是在物理学中，还存在于科学的其他领域中（我们会在下面的部分讨论其中的一些）。历史告诉我们科学和技术都是借助于数学的思想，以加速度的方式来进行转换；即使数学理论只是一些抽象的，难懂的初期设想，最后在实践应用中也都必不可少。达尔文在早起的工作中也并不依赖数学，后来在他的自传中写到：“我没有足够提前，至少去了解那些重要的，领导性的数学法则，对此深感惭愧。对于人们，因此而赐予的（数学的能力？）是一种额外的感知力。”我经常用这句作为先见之明的忠告送给下一代，用来强调数学巨大的潜能。
亲爱的读者，通过这本书，我希望能够对你有所帮助，就如同我的老师和导师对我所做的那样，打开数学的力量与美，也能让你如同我一般进入者梦幻的世界，即使你属于那种，永远不可能将数学和美联系在一起，放在一句话里脱口而出。数学将会达到你的肌肤里面，如同他蕴藏在我的身体里那样，而你的世界观也不会在一成不变。
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数学的知识不像其他的学科。当我们对物理世界的感知经常被扭曲时，我们队数学真理的感知永远不会改变，它们是客观存在的，持续的，绝对的真理。一个数学的公式或定理放之四海而皆准——无分性别，宗教和肤色，无论是亘古还是现在，对任何人的价值都是一样的。而且更惊讶的是我们每一个人都拥有它们的全部。没人可以对一个数学公式申请专利，它归全人力所共享。这个世界上没有一件这样的东西，如此的深邃而精致，同时又轻而易举的对所有人可用。很难相信会存在如此的知识库。它是那么的宝贵，而不能被最初的少数人所独占。它属于全人力。
数学的核心功能之一就是信息的规则。这也是用来区分梵高的艺术画和仅仅一团乱画的准则。随着3D打印的问世，我们所熟悉的现实生活正经历一场极具的变化：所有的事物都在由物体的层面移植到信息和数据的层面。不久的未来，如同我们现在能够轻易的讲PDF文件打印成一本书，MP3文件转变成一首歌曲一样，我们也能够按照指令讲信息转化为实物。在这个全新的世界，数学的作用变的更为核心，因为组织和规范信息的方式，将信息便利的转化为物理现实，（这都依赖于数学）。
本书中，我讲描述一个在最近的50年里，很多出自数学的众多想法中的一个:，数学大统一理论所考虑的Longlands项目。这是一个迷人的理论，将所有关于数学的不同的领域，根据之间的隐含的关系，编制成一个网络，这些不同的领域，初看仿佛八杆子打不着边：袋鼠，集合，数论，分析以及量子物理学。但如果我们将这些领域设想成是隐藏在数学王国中的一块大陆，那Longlands项目就是终极的传送门设备，能够将我们瞬间从一个地点到另一个地点并能够返回。
60年代的普林斯顿大学高等研究所，数学家Robert Langlands已经在爱因斯坦曾经的办公室工作，他开启了这个项目。Langlands以开创性的数学对称理论作为基础。而这一基础，是200年前的一位法国数学奇才所提出，而不久之后他就因为决斗而被杀死，年仅20.后来又有很多惊人的发现，他的理论得到了扩充，不仅导致了费马定理得到了证实，也革新了我们对数，方程式的思考方式。诚然，另一个洞察则是数学本身有着自己的罗塞塔石碑（传说中文字的起源），而且数学本身也充满着变幻莫测的分析和比喻。遵循这些分析方法，如同在被施了数学魔法的土地上的小溪，而Langlands项目的主意就是能够涌入到几何和量子力学的领域，在看似混乱中创建出秩序和和谐。
我想把平时我们很少能够看见的，关于数学的方方面面，都可以告诉你：鼓舞，深刻的思想，惊叹的启示。数学史一种打破传统阻碍的方式，在追寻真理中一种没有拘束的想象的表达方式。康托尔，无限集合的创造者，写到：“数学的本质蕴藏在它的自由中”。数学交给我们严格的分析现实，研究事实，无论他们指向何方我们都去追随。它使得我们从教条和偏见中解脱，给创新的能力供给养分。因此数学所提供的工具，已经超越了事物的本身。
这些工具可以被用在好或坏的地方，驱使我们评估数学的真实世界作用。比如，全球化的经济危机在很大程度上都是由于在财政市场中广泛使用不充分的数学模型所导致。多数的决策制定者因为自数学水平的局限，并不能完全的理解这些模型，但却在贪婪的驱使下，自大的肆意使用这些数学模型，直到这种方式几乎破坏了整个系统。他们不公平的利用不对称优势来获取信息，同时也希望没人会要求他们摊牌，因为也没有其他人会倾向于质问他们：数学模型是如何工作的。或许，如果有更多的人能够理解这些模型的功能，系统如何真正的运转的话，我们就不会被愚弄如此之久。
另一个例子，来看看这个：在1996年，一个有美国政府任命的委员会秘密的合并并修改了一个公式，该公式用来标示消费者价格索引，计算通货膨胀从而决定税收等级，社会安全，医疗以及其他指标的支付。上千万的美国人都受到其影响，但对新公式和其结果去只有很少的公众会去讨论。而最近，还有人试图探索这个神秘的公式，认为这个公式是美国经济的后门。
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数学和艺术，文学以及音乐一样都是我们文化遗产的一部分。作为人类，我们需要保持一种饥渴，去发现新的食物，收获新的意义，更好的理解这个宇宙和我们居住的地方。我们也不可能像哥伦布发现新大陆，或者成为第一个在月球上留下脚印的人。但如果我告诉你，你并不需要穿过海洋，不需要穿越空间，就可以发现一个未知的世界，这会怎样？他们就在你的身边，缠绕在我们当前的现实之中。某种意义上就在我们的身体内。数学指引着宇宙的流向，潜伏在它的形状和曲线中，不管小到原子还是最大的恒星，都把握着他们的命脉。
这本书就是这个丰富的，惊异世界的请帖。写这本书的对象，并不需要任何的数学背景。如果你认为数学很难，以至于你不会领悟它，如果你对数学心存惶恐，但同时，有好奇在数学之中，是否有什么什么值得你去了解的话，这本书就适合你去阅读。
通常有一个谬论，只有学了数学多年以后，你才会感激它。甚至有些人认为多数人在学习数学中存在一种先天的缺陷。我不同意：我们中的多数都听说过，或者最少对一些基本概念有所了解，比如我们的太阳系，原子和基本的粒子，DNA的双螺旋结构甚至更多，而对他们的了解，无并不会通过物理或者生物课的课堂学习。而且这些常见的概念作为我们文化和集体意识中的一部分而为人民所熟知，没人会对此表示惊讶。同样，如果用正确的方式来解释数学，人人都可以抓住数学的关键概念和思路。做到这点，并不需要花费多年来钻研数学，在很多情况下，我们可以直接切入重点，挑去其中冗余的步骤。
而问题在于：当这个世界多数情况下都在讨论星球、原子和DNA的时候，很少会有人会告诉你现代数学中的那些迷人的思想，比如对称集合，在新型数控系统中2加2并不总等于4，黎曼曲面那样美妙的几何形状。这如同照猫画虎。但实际上，老虎是一个完全不一样的动物。我将会让你全方面的领略它的壮丽，而你，则如同William Blake充满说服力的言辞那样，领会到这敬畏的对称。
并不要会错了我的意思：阅读这本书本身并不会让你成为一个数学家。我并不鼓吹人人都应该是一名数学家。以这样的方式来思考这个问题：学会了一小部分的旋律可以保证你能够用吉他弹奏几首小曲，但并不会让你成为世界上最好的吉他手，但这可以丰富你的人生。在这本书里，我会给你揭示那些隐蔽在你身边的现代数学的旋律。我也保证会丰富你的人生。
我的老师之一，伟大的Israel Gelfand曾经说过：“人们认为自己不懂数学，但这完全取决于你怎么揭示给他们。如果你问一个酒鬼，2/3和3/5哪一个更大，他无法告诉你答案。但如果你换一个方式来问这个问题，2瓶伏特加分给3个人，或者3瓶伏特加分给5个人，哪一个更好一些的，他会直接告诉你：当然是前者”。
我的目的就是解释给你这些材料，从而让你能够理解。
我也会告诉你一些我在前苏联成长的经历，在那里，面对专制制度，数学也成为了自由的警戒区域。因为苏联的歧视政策，我被否决进入莫斯科国立大学。这扇大门在我面前关闭了。我被驱逐出去了。但我并没有放弃，我可以潜入大学参加这些课程和研讨会，我可以自己阅读数学书记，有些时候直到深夜。而且最后，我能够撬动这个体制。他们没有让我从前门进入，但我可以从窗户上溜进来。当你身处真爱中，有谁可以阻挡你呢？
两个伟大的数学家把我带进他们的羽翼下，并成为了我的导师。在他们的指引下，我开始进行数学研究。那时我仍然是一个院校学生，但我已经在开拓那些未知的边疆。这是我人生中最兴奋的时候，即使我确切的明白，在苏联这种气势的政策下，绝不允许我作为数学家得到一份工作的情况下，我也一无反顾。
但总有一个意外等待你的发现：我的第一篇数学论文私下流传到国外并被熟知，在我21岁的时候收到了哈佛大学作为访问教授的邀请。更不可思的是，就在那个时刻，苏联的改革拉开的铁幕，市民也允许出国旅行。因此，作为没有博士学位的哈佛教授的我，又一次撬动了这个体制。我继续着我的学术之旅，这也带领我研究了Langlands项目的前言，使得我在接下来的20年中，能够参与其中主要的进展中。接下来，我将会描述这些杰出的科学家所拥有的绝伦成果，以及这些成果背后的故事。
这也是一本关于爱的书。曾经，我有一个意愿，作为衣蛾数学家去发现爱的公式，这也是《爱的仪式和数学》这部电影的前因，这部分我会在本书中介绍。当我展示这部电影时，总会有人问我：爱的公式是否真的存在？
我的回答是：“我们所创建的每一个公式都是爱的公式”。数学是永恒的，深刻知识的源泉，直入万物之心，跨越文化，大地以及世纪的局限而将我们结合在一起。我的梦想就是我们所有人都能够领悟，感激并惊叹于这些思想，公式和等式中魔幻般的美以及优雅的和谐，而我们对这个世界以及彼此的爱，因为它而有了更多的意义。
导读
我使用了各种方法，让这本书中的数学概念以最基础和直觉就可以理解的方式来呈现。尽管如此，我意识到在本书的一些章节仍然有着较深的数学成分（比如8,14,15,17这些章节）。如果在最初阅读时，能够先略去这些困惑或者枯燥的部分（这也是我经常使用的方式）效果会非常的不错。然后在通过新获取的知识来阅读这些部分，你可能会发现简单很多。但是通常，为了能够跟上下面的进度，这并不是必须的。
本书中的一些数学概念（特别是后面的章节）并不会面面俱到。我的重点是宏观的，注重在不同的概念和不同的数学分钟中逻辑上的关联，并没有技术上的细节。更深一步的探讨经常都写在备注之中，包括一些引用以及可以后续阅读内容的建议。尽管如此，即使备注能够加强你的理解力，它们也可以安全的忽略不读（最少在第一次阅读时）。
我已经努力减少公式的使用——尽可能优先使用口语化的解释。但一些公式确实出现了、我认为多数并不可怕；在任何情况下，迫不得已下略去他们也未尝不可。
在数学术语在提醒一句：在我写作这本书的时候，让我感到惊讶的是，我也发现，某些情况下数学家使用某一种特定的方式，实际上也意味着某些意思和非数学家所理解的完全的不同。比如，对于数学家而已，一致性意味着两种事物间的关系（比如一对一的一致性），这并不是最常用的含义。这样的单词还有很多、因此当我发现这些问题时，我会做出一个解释。同时也尽可能的将那些模糊的数学术语用意义更为明显的术语来态度。你可能会发现，这对于你在查阅术语表和索引时，如果有一个词看起来不太明确，这会非常的有用。
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