图论-课堂例题

证明：在连通图G中，任二个最长路必有公共顶点。

（反证法）

(1)

o------o-------o-------o  p

o------o-------o-------o  q

(2)

o　　o------o-------o

　　  |

　　  |

o      o------o-------o

矛盾

2、在连通图中，d(v)=偶数，w(G-v) <= d(v)/2

例1.8　设一金库只有一个大门，其内部被分隔成一些小房间（把走廊、门厅

等都看成房间）。各房间除了一个放有稀世大钻石的房间外，都有偶数个门（大门也

是一个门）。则能撬开每个门的大盗一定可将钻石偷走。

证明　不计金库大门（则大门门厅也只有奇数个门），以金库的所有房间为顶

点集作一图G ，两顶点间用一边相连当且仅当对应的两个房间有一个门相连。则图

G 中恰只有与大门门厅及存放钻石的房间对应的两个顶点（设为x 与y ）为奇点，

其余顶点都是偶点。

我们的问题变成要证明任一图G 中若恰只有两个奇点x 与y ，则G 中一定存

在（x ，y ）路。

设若不然，则G 不连通，且x 与y 在G 的不同分支中。于是，G 中包含x 的分

支，是一个只包含一个奇点的图，这与推论１３２ 相矛盾。／／