（五）用正则化(Regularization)来解决过拟合

1 过拟合

过拟合就是训练模型的过程中，模型过度拟合训练数据，而不能很好的泛化到测试数据集上。出现over-fitting的原因是多方面的：

1 训练数据过少，数据量与数据噪声是成反比的，少量数据导致噪声很大

2 特征数目过多导致模型过于复杂，如下面的图所示：

看上图中的多项式回归（Polynomial regression），左边为模型复杂度很低，右边的模型复杂度就过高，而中间的模型为比较合适的模型，对于Logistic有同样的情况

如何避免过拟合

1. 控制特征的数目，可以通过特征组合，或者模型选择算法

2.Regularization，保持所有特征，但是减小每个特征的参数向量θ的大小，使其对分类y所做的共享很小

下面来详细分析正则化

来看多项式拟合的问题，对于右图复杂的模型，只需控制θ₃与θ₄的大小，即可使得模型达到与作图类似的结果，下面引入线性回归的L2正则的公式

如上过程就是正则化的过程，注意正则化是不带θ₀的，其实带不带在实际运用中只会有很小的差异，所以不必在意，现在只需要控制λ的大小，当λ很大时，θ₁到θ_n就会很小，即达到了约束数量庞大的特征的目的。

若选择过大的λ，会使得参数向量θ非常小，从而只剩下θ₀，使得模型看起来像一条直线

而且，模型会欠拟合，梯度下降也不会收敛，而λ的选择将在特征选择中讲到

带有正则化项的梯度下降算法，首先要特殊处理θ_0,

关于Normal Equation 的正则化

并且有一个不错的消息就是括号中的矩阵必定为可逆的

Logistic的正则化

首先看L2正则

其正则化的Gradient Descent形式：