决策单调性优化dp 专题练习

决策单调性优化dp 专题练习

优化方法总结

一、斜率优化

对于形如 \(dp[i]=dp[j]+(i-j)*(i-j)\)类型的转移方程，维护一个上凸包或者下凸包，找到切点快速求解

技法：

1.单调队列 ： 在保证插入和查询的x坐标均具有单调性时可以使用

2.单调栈+二分：保证插入有单调性，不保证查询有单调性

3.分治+ 1 或 2：在每次分治时将\([l,mid]\)这段区间排序后插入，然后更新右区间\([mid+1,r]\)的答案

二.分治、单调队列维护有单调性的转移 （甚至还有分治套分治）

分治法介绍：

定义函数\(Solve(l1,r1,l2,r2)\)记录当前分治到被转移的区间是\(l1,r1\)，用来更新的区间是\([l2,r2]\)

枚举找到\(mid\)的决策点，根据单调性将\([l2,r2]\)分成两段，递归进行

复杂度上，每一个递归层的\([l1,r1]\)，\([l2,r2]\)都分别构成近似一整段[1,n]的区间，最多只有\(log n\)层，所以复杂度是\(nlogn\)

三.四边形不等式优化

传送门

练习

一、斜率优化

另一篇总结

Extra A：柠檬 题解传送门

Extra B ：牛学校 题解传送门

二、单调性优化

A: Lawrence 题解传送门

B: Lightning Conductor 题解传送门

C: 记忆的轮廓 题解传送门

D:区间 题解传送门

E:Post加强版 题解以及拓展

三、四边形不等式

石子合并。。。

原文地址：https://www.cnblogs.com/chasedeath/p/11743464.html

时间： 2024-10-13 05:53:34

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题解——[NOI2009]诗人小G 决策单调性优化DP

第一次写这种二分来优化决策单调性的问题.... 调了好久,,,各种细节问题 显然有DP方程: f[i]=min(f[j] + qpow(abs(sum[i] - sum[j] - L - 1))); 其中f[i]代表到了第i个句子的最小答案 qpow用于处理^p sum为前缀和 (同时为了处理句子之间的空格问题,我们在统计前缀和的时候就默认在句子后面加一个空格, 然后在计算的时候,由于每一行只有最后一个不用加空格,直接减掉这个多加的空格即可获得正确长度) 首先我们可以打表发现是满足决策单调性的,

决策单调性优化dp

决策单调性: 对于一些dp方程,经过一系列的猜想和证明,可以得出,所有取的最优解的转移点(即决策点)位置是单调递增的. 即:假设f[i]=min(f[j]+b[j]) (j<i) 并且,对于任意f[i]的决策点g[i],总有f[i+1]的决策点g[i+1]>=g[i](或者<=g[i]) 那么,这个方程就具备决策单调性. 这个有什么用吗? 不懂具体优化方法的话确实也没有什么用.可能还是n^2的.只不过范围可能少了一些. 经典入门例题: Description: [POI2011]Ligh

Codeforces 868F. Yet Another Minimization Problem【决策单调性优化DP】【分治】【莫队】

LINK 题目大意 给你一个序列分成k段 每一段的代价是满足\((a_i=a_j)\)的无序数对\((i,j)\)的个数 求最小的代价 思路 首先有一个暴力dp的思路是\(dp_{i,k}=min(dp_{j,k}+calc(j+1,i))\) 然后看看怎么优化 证明一下这个DP的决策单调性: trz说可以冥想一下是对的就可以 所以我就不证了 (其实就是决策点向左移动一定不会更优) 然后就分治记录当前的处理区间和决策区间就可以啦 //Author: dream_maker #include<bi

[BZOJ4709][JSOI2011]柠檬 决策单调性优化dp

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709 我好弱啊QAQ,网上dalao们的题解根本看不懂啊,折腾了几个小时,有一点明白了. 首先要把朴素dp方程退出来. ①题目中说每次从序列的左右选一端取,但是如果你真的照着题目说的这样做我也不知道会怎么样.事实上很明显不管怎么取,最终答案都只跟划分出的是哪几个区间有关.所以不妨从左端开始取. ②如果取一个区间,区间第一个贝壳的大小和最后一个贝壳的大小不一样,那么很明显可以去掉第一个或最

P3515 [POI2011]Lightning Conductor[决策单调性优化]

给定一序列,求对于每一个$a_i$的最小非负整数$p_i$,使得$\forall j \neq i $有$ p_i>=a_j-a_i+ \sqrt{|i-j|}$. 绝对值很烦 ,先分左右情况单独做.现在假设j都在i左边,则$p_i=max{a_j-a_i+ \sqrt{i-j}}=max{a_j+ \sqrt{i-j} }-a_i$.带根号,不易斜率优化,考虑证决策单调性. 假设最优决策为j,j之前的任意决策称之为$j'$,则有 $f[j]+\sqrt{i-j} \geqslant f[j']

Bzoj 1563: [NOI2009]诗人小G（决策单调性优化）

原题面 带有详细证明的转这里 题意:每一个线段有一个长度,有一个标准长,现在要把这些线段按照顺序分行,每行的不和谐值等于标准长和该行线段总长的差的绝对值的p次方.现在要求最小的不和谐值之和. 开始的时候完全读错题了,以为p==2 for ever.真是太天真.后来看数据范围才发现.我真是面向数据编程? n^2的dp是一眼秒的.然后如果是p=2,那就是一个非常像玩具装箱的斜率优化dp.对于4.5的数据范围.可以想到用贪心优化dp.因为每一行的长度不会通过拼接线段(线段条数>=2)达到2*标准长,这

bzoj2216: [Poi2011]Lightning Conductor（分治决策单调性优化）

每个pi要求 这个只需要正反DP(?)一次就行了,可以发现这个是有决策单调性的,用分治优化 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=500010,inf=1e9; int n; int a[

CodeForces 868F Yet Another Minimization Problem(决策单调性优化 + 分治)

题意 给定一个序列 \(\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\),要把它分成恰好 \(k\) 个连续子序列. 每个连续子序列的费用是其中相同元素的对数,求所有划分中的费用之和的最小值. \(2 \le n \le 10^5, 2 \le k \le \min(n, 20), 1 \le a_i \le n\) 题解 \(k\) 比较小,可以先考虑一个暴力 \(dp\) . 令 \(dp_{k, i}\) 为前 \(i\) 个数划分成 \(k\) 段所需要的最小花费. 那么转移如下

Gym - 101981B Tournament (WQS二分+单调性优化dp)

题意:x轴上有n个人,让你放置m个集合点,使得每个人往离他最近的集合点走,所有人走的距离和最短. 把距离视为花费,设$dp[i][k]$表示前i个人分成k段的最小花费,则有递推式$dp[i][k]=min\{dp[j][k-1]+w(j,i)\}$,其中$w(j,i)$可以$O(1)$求出. 显然,如果考虑段数的话,光状态数就有n^2个,肯定行不通.不过这题的最优解对段数的函数是凸的,因此可以用WQS二分来打破段数的限制. 给每个集合点加上一个额外的花费c,然后忽略段数的限制,这样递推式就变成了