递推第3题—极值问题

[问题描述]已知m,n为整数，且满足下列两个条件：
                 ①m,n∈{1,2,…,k}，即1<=m,n<=k

②(n²-mn-m²)²=1

你的任务是：编程由键盘输入正整数k(1<=k<=10⁹),求一组满足上述两个条件的m,n，并且使m²+n²的值最大。例如，我们从键盘输入k=1995，则输出m=987,n=1597。

[问题分析]

典型的数学题……我们可以就条件②出发利用求根公式加上限制条件去解方程，一定能得到正确的解，但是数据范围是10⁹，这种方法只能承受10⁵,用此方法必定超时。

我们可以对这个式子先做一下数学变换：

(n²-mn-m²)²

=(m²+nm-n²)²

=[(n+m)²-n(n+m)-n²]²

=[(n’)²-m’n’-(m’)²]²

其中n’=m+n,m’=n。虽然从形式上看表达式并没有什么变化，但从上述数学变换式可以看出：如果m和n为一组满足条件的解，那么m’和n‘也是一组满足条件的解，于是可以用迭代法求解。因此我们可以将所有满足条件的m和n按递增顺序排列出来

令m=1,n=1，发现满足条件，即为问题的一组最小解。

我又接着写了一个小程序找了找k=100时的解：

uses math;
var m,n:integer;
begin
  for m:=1 to 100 do
     for n:=1 to 100 do
       if (n**2-m*n-m**2)**2=1 then writeln(m,‘ ‘,n);
end.

发现输出是这样的：

1 1
1 2
2 3
3 5
5 8
8 13
13 21
21 34
34 55
55 89

将其按递增顺序排列出来就是1,1,2,3,5,8,……,于是我发现这正是一个Fibonacci数列。

于是一切都变得简单了。

var k,m,n,t:longint;
begin
  readln(k);
  m:=1;n:=1;
  repeat
    t:=m+n;
    if t<=k then begin m:=n;n:=t; end;
  until t>k;
  writeln(m,‘ ‘,n);
end;

又是一个令人惬意的短代码，这道题重要的不是代码，而是要转化代数式以及联想到Fibonacci数列。

看了看标准程序，和我的也是大同小异，就不再给出。

递推第3题—极值问题