背景
发现很多教材讲微积分中的格林定理忽略其引申，显得粗糙。看了不同版本教材比对之后，这种感受更深了。Green′stheorem 联系着二重积分和第二类平面曲线积分,是个漂亮的结果.
对原始定理稍作引申，不仅加深理解，在计算几何的某些算法实现中灵活应用起来也很方便。不但格林定理，散度定理也有类似的应用，让人惊讶。
定理和引申
定理 (Green‘s theorem, also Jordan curve theorem): 向量场 (x,y)?→F?X,Y?, ?X?y和?Y?x在有界单连通区间 D 上连续；D 的边界为Jordan曲线 C：r(s)=?x(s),y(s)?。则环量形式 circulation form:
?D(?Y?x??X?y)dxdy=∮CF?dr=∮C(Xdx+Ydy)
类似地有flux form:
?D(?X?x+?Y?y)dxdy=∮CF?nds=∮C(Xdy?Ydx)
引申 对circulation form, 如果(?Y?x??X?y)=1, 定理的公式左边就是区域 D的面积。满足这样条件的F 有很多, 比如?0,x?, ??y,0?, 12??y,x?等等。从而有：
DArea=?Ddxdy=∮Cxdy=?∮Cydx=12∮C(xdy?ydx)
适当更换F，?x,0?, ?0,y?, 12?x,y?，可以类似得到flux form的等价的引申结果。
Jordan曲线作为适用范围只是定理适用的必要非充分条件。边界为封闭曲线，区域内任何点关于边界曲线的 卷绕数 都为 1 似乎更理想, 尤其是如果面积也允许有符号时; 因为这样得到的面积与曲线方向有关, 否则也有反例存在： Lemniscates of Bernoulli,跟曲线参数方程特定的形式有关(因为这影响曲线的走向),此时极坐标积分反而可能更好。
应用案例
椭圆面积
国外教科书中多讲椭圆面积的计算.
比如C=?acost,bsint?,t∈[0,2π]所包围的区域的面积。令向量场F=12??y,x?, 利用定理的引申:
S=12∮Cacostd(bsint)?bsintd(acost)=ab2∫02π(cos2t+sin2t)dt=πab
四瓣花形曲线的面积
如果用一个形状更特殊, 常规方法繁琐的例子则容易给人更深的印象。
比如：
?????x=y=cos(t)cos2(2t)???????√4sin(t)cos2(2t)???????√4t∈[0,2π]
用格林定理的引申可以得到其面积恰好为 2。 这个例子实际上用极坐标下的积分也很容易验证结果。然而格林定理可以直接应用还是让人意外。
这个例子四个花瓣有公共点(0,0)应该就不算Jordan曲线了,但封闭的开区域内 卷绕数 都为 1 且曲线方向一致(如果方向相反可能有负卷绕数), 所以仍然适用格林定理；此外，四个象限中,曲线都正好等分单位正方形,这让人也感觉很好。
此外, 这个案例 ?sin2t,sint? 也不错。
Lemniscates of Bernoulli
前面提到这类曲线能否适用Green’s theorem实际上跟曲线参数方程特定的形式有关(因为这影响曲线的走向), 这里举两个例子, 同样都是 Lemniscates of Bernoulli , 但参数方程决定的曲线走向差异, 一个适用, 一个太难适用。
先说适用的:
参数方程
?????x=y=cos(t)cos(2t)??????√cos(2t)??????√sin(t)t∈[0,π4]∪[3π4,5π4]∪[7π4,2π]
曲线及其方向是这样的:
容易知道它是前面四瓣花形曲线的一半, 面积是1.
而这条曲线:
?????????x=y=343cost?245cos(2t)+10149?140cost49(5sin(2t)?7sint)140cost?149t∈[0,2π]
曲线的走向随参数t的增加是这样的:
用格林公式计算面积总是正负抵消,结果为0
常拿来说事的不能用此定理的曲线
参数方程为:
{xy=?9sin(2t)?5sin(3t)=9cos(2t)?5cos(3t)t∈[0,2π]
刚刚计算过它的隐函数曲线形式, 形状如:
如果直接用 格林定理 则得到 87π, 跟半径87??√的圆一比较, 发现实际面积并没有圆大，显然是错误的。中心卷绕数为2、近似于正五边形的部分实际被重复计算了。
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