泛函与变分基础

基本概念

泛函

泛函是一个函数的表达式,取值取决于该表达式中的函数,泛函是函数的函数。

1)除了变量x外,泛函还可以包含其他的独立变量;

2)除函数y(x)外,泛函还可以包含有许多以上述独立变量为函数的其他函数(因变量);

3)泛函中,除了一阶导数外,还可以包含有高阶导数。

变分法

经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答,其求解过程为“最优化”过程。

经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法和过程。

研究泛函极值的方法就是所谓的变分法,研究泛函极值的近似方法就是所谓变分方法。

一阶变分

函数F对变量x,y和y‘二次可微;

泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选的路径,即函数y(x)。

设存在函数y(x),使泛函I达到极值,其相邻路径为

y(x)称为“极值曲线”或“极值函数”,称为“可变路径”。

是一可微函数,a为一微量的参变数。

a=0时,为极值的必要条件为:

注意到

在两端点 = 0

因为为任意函数

所以 即为欧拉—拉格朗日方程

变分运算

引入“算子”,定义

算子表示当独立变量x为一固定值时,因变量函数y的任意微小变化。

利用沿可变曲线将F写成:

在任意x处,将F展开成关于y和y`的泰勒级数:

F的全变分:

一阶变分:

I取极值的条件:

具有多个因变量:

含有高阶导数:

Euler-Poisson方程

时间: 2024-10-05 14:59:34

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