基本概念
泛函
泛函是一个函数的表达式,取值取决于该表达式中的函数,泛函是函数的函数。
1)除了变量x外,泛函还可以包含其他的独立变量;
2)除函数y(x)外,泛函还可以包含有许多以上述独立变量为函数的其他函数(因变量);
3)泛函中,除了一阶导数外,还可以包含有高阶导数。
变分法
经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答,其求解过程为“最优化”过程。
经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法和过程。
研究泛函极值的方法就是所谓的变分法,研究泛函极值的近似方法就是所谓变分方法。
一阶变分
函数F对变量x,y和y‘二次可微;
泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选的路径,即函数y(x)。
a=0时,为极值的必要条件为:
注意到
所以 即为欧拉—拉格朗日方程
变分运算
算子表示当独立变量x为一固定值时,因变量函数y的任意微小变化。
在任意x处,将F展开成关于y和y`的泰勒级数:
F的全变分:
一阶变分:
I取极值的条件:
具有多个因变量:
含有高阶导数:
时间: 2024-10-05 14:59:34