为什么要使用backpropagation?
梯度下降不用多说，如果不清楚的可以参考http://www.cnblogs.com/yangmang/p/6279054.html。
神经网络的参数集合theta，包括超级多组weight和bais。
要使用梯度下降，就需要计算每一个参数的梯度，但是神经网络常常有数以万计，甚至百万的参数，所以需要使用backpropagation来高效地计算梯度。
backpropagation的推导
backpropagation背后的原理其实很简单，就是求导的链式法则。
我们从上面的公式开始推导。以其中一个神经元为例。
如上面的红框中所示，根据链式法则，l对w的偏导数，等于z对w的偏导数乘以l对z的偏导数。
l对w的梯度可以分为两部分：
前向传播：对所有参数求梯度；
后向传播：对所有激活函数的输入z求梯度；
前向传播的梯度求法简单，就z对w求偏导数，直接求出就是对应的输入xi。
后向传播比较复杂，需要再使用链式法则，如红框中所示。l/z的梯度分解为a/z和l/a的梯度。
a对z的导数图像如上所示，现在关键就是求l对a的偏导数。
为了求出l对a的偏导数，继续使用链式法则，关联上后面的两个神经元。
现在问题就转化成了，求红框中的两个问号的梯度/
现在假设两个问号梯度已知，就可以求出之前l对z的梯度了。
现在来看看怎么可以求出l对z的梯度。
第一种情况：当z‘和z’‘为输出层时。根据链式法则，y/z和l/y的梯度都是可解的，这样问题就解决了。
第二种情况：不是输出层。就是说还有后续的神经元几点连接。
循环计算l对z的梯度，直到输出层，出现case1的情况，问题也就解决了。
所以，我们就可以从输出层开始，反向计算l对每层z的梯度，在结合前向传播得到的梯度，就可以计算出梯度下降所需的梯度了。
而且，反向传播的复杂度和前向传播是一样的，这样就大大提升了梯度计算的效率。
最后结果就是这样的：
