DP/斜率优化
斜率优化基本题……等等，好像就没啥变化啊= =
嗯目测这题跟仓库建设差不多？写题的时候倒是没想这么多……直接推了公式。
$$f[i]=min\{f[j]+cal(j,i)+a[i]\}$$
哦麻烦的还是这个$cal(j,i)$
我们令$s[i]=\sum_{k=1}^{i}b[k] c[i]=\sum_{k=1}^{i}(b[k]*k)$
则有$cal(j,i)=(s[i]-s[j])*i-(c[i]-c[j])$（问我怎么想到的？这个嘛……像这题这种要求“阶梯形求和”的，基本都是利用矩形和$\sum a[i]*i=s[i]*i$ 以及 阶梯形和 $ \sum (a[i]*i) $两种前缀和加加减减拼凑出来的）
所以有$f[i]=min\{ f[j]+(s[i]-s[j])*i-(c[i]-c[j])+a[i] \}$
单调性证明：$( j > k )$
\[ \begin{aligned} f[j]+(s[i]-s[j])*i-(c[i]-c[j])+a[i] &< f[k]+(s[i]-s[k])*i-(c[i]-c[j])+a[i] \\ f[j]-f[k]+c[j]-c[k] &< i*(s[j]-s[k]) \\ \frac{f[j]-f[k]+c[j]-c[k]}{s[j]-s[k]} &< i \end{aligned} \]
1 /**************************************************************
2 Problem: 3437
3 User: Tunix
4 Language: C++
5 Result: Accepted
6 Time:2096 ms
7 Memory:44240 kb
8 ****************************************************************/
9
10 //BZOJ 3437
11 #include<cmath>
12 #include<vector>
13 #include<cstdio>
14 #include<cstring>
15 #include<cstdlib>
16 #include<iostream>
17 #include<algorithm>
18 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
19 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
20 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
21 #define pb push_back
22 using namespace std;
23 int getint(){
24 int v=0,sign=1; char ch=getchar();
25 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){ if (ch==‘-‘) sign=-1; ch=getchar();}
26 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){ v=v*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
27 return v*=sign;
28 }
29 const int N=1e6+10;
30 typedef long long LL;
31 /******************tamplate*********************/
32 LL a[N],b[N],c[N],s[N],f[N];
33 int q[N],l,r,n;
34 inline double slop(int k,int j){
35 return double(f[j]-f[k]+c[j]-c[k])/double(s[j]-s[k]);
36 }
37 int main(){
38 n=getint();
39 F(i,1,n) a[i]=getint();
40 F(i,1,n){
41 b[i]=getint();
42 s[i]=s[i-1]+b[i];
43 c[i]=c[i-1]+b[i]*i;
44 }
45 F(i,1,n){
46 while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<i)l++;
47 int t=q[l];
48 f[i]=f[t]+(s[i]-s[t])*i-c[i]+c[t]+a[i];
49 while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i))r--;
50 q[++r]=i;
51 }
52 printf("%lld\n",f[n]);
53 return 0;
54 }
时间： 2024-10-22 09:53:50