可以喝多少瓶啤酒
问题
4个瓶盖，或者2个酒瓶，可以换一瓶啤酒，
现在有10块钱，啤酒2块钱一瓶，问： 共可以喝多少瓶啤酒？
解法一
问题分析
手里有10块钱，既然要喝尽可能多的啤酒，就要买尽可能的多买，所以直接全部买成啤酒，共可买5瓶。现在共有5瓶啤酒，那么可以进行以下的操作（序号越低，优先级越高）：
- 如果有酒，则全部喝掉；
- 如果有 >= 4个瓶盖，则换成 n/4 瓶啤酒；
- 如果有 >= 2个酒瓶，则换成 n/2 瓶啤酒；
显然，如果用程序模拟，实现起来很简单。
结果
代码：
# encoding: utf-8
status = (5, 0, 0) # 5瓶酒，0个瓶盖，0个酒瓶
def drink(status):
if status[0] != 0:
return status[0] + drink((0, status[1] + status[0], status[2] + status[0]))
elif status[1] >= 4:
return drink((status[1] / 4, status[1] % 4, status[2]))
elif status[2] >= 2:
return drink((status[2] / 2, status[1], status[2] % 2))
else:
return 0
print drink(status)
输出:
15
那么如果初始不是5瓶，一共可以喝多少瓶呢？
| 初始 | 一共 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 7 |
| 4 | 11 |
| 5 | 15 |
| 6 | 19 |
| 7 | 23 |
| 8 | 27 |
| 9 | 31 |
| 10 | 35 |
解法二
写一段程序虽然方便快捷，但是还是有很多限制，那么有没有别的方法呢？
问题分析
观察 解法一 的输出数列 0 1 3 7 11 15 19 23 27 31 35，可以发现从 3 开始正是一个等差数列，于是：
结果
\begin{equation*}
f(n) =
\begin{cases}
n & \quad n <= 1\ 4n-5 & \quad n > 1\ \end{cases}
\end{equation*}
解法三
问题分析
- 如果初始有 1 瓶酒：
啤酒 瓶盖 酒瓶 1 0 0 0 1 1 共可喝 1 瓶啤酒，剩余 1 个瓶盖，1 个酒瓶。
即：\(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\)
（注：表示初始 1 瓶，最终可喝 1
瓶，剩余 1 个瓶盖 1 个酒瓶） - 如果初始有 2 瓶酒，只要在 1瓶酒 的基础上加 1瓶酒，然后再化简即可：
啤酒 瓶盖 酒瓶 0 2 2 1 2 0 0 3 1 共可喝 \(1 + 1 + 1 = 3\)
瓶洒，剩余 3 个瓶盖，1 个酒瓶。即：
\(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\) + \(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\) = \(2 \Rightarrow 2 + (0, 2, 2)\) = \(2 \Rightarrow 3 + (0, 3, 1)\) - 如果初始有 3 瓶酒，同理，可以在 2瓶酒 的基础上加 1瓶酒，然后化简：
啤酒 瓶盖 酒瓶 0 4 2 1 0 2 0 1 3 1 1 1 0 2 2 1 2 0 0 3 1 共可喝 \(3 + 1 + 3 = 7\)
瓶酒，剩余 3 个瓶盖，1 个酒瓶。即：
\(2 \Rightarrow 3 + (0, 3, 1)\) + \(1 \Rightarrow 1 + (0, 1, 1)\) = \(3 \Rightarrow 4 + (0, 4, 2)\) = \(3 \Rightarrow 7 + (0, 3, 1)\)
注意，我们发现一个性质：
(0, 3, 1) + (0, 1, 1) = (0, 4, 2) = 3 + (0, 3, 1)
这也意味着，如果我们初始有 2 瓶酒，那么最终可以喝到 3 瓶酒，并剩余 (0, 3, 1)。此后，每拿到 1 瓶额外的酒，就可以再喝这瓶酒本身，加另外可以兑换的 3 瓶酒，即 4
瓶酒，且剩余 (0, 3 , 1)。即对于 n >= 2 的情况，\(f(n) = (n-2) \times 4 + 3 = 4n- 5\)
。因此，可得：
结果
\begin{equation*}
f(n) =
\begin{cases}
n & \quad n <= 1\ 4n-5 & \quad n > 1\ \end{cases}
\end{equation*}
解法四
问题分析
啤酒2元一瓶，4个瓶盖可以换1瓶啤酒，则瓶盖价值0.5元；2个空瓶可以换一瓶啤酒，则空瓶价值1元；进而推出瓶内啤酒的价值是0.5元，所以10元可以喝20瓶。那么具体怎么操作呢？
结果
直接来20瓶，喝完兑换 5+10 瓶，付10元。