解模逆元? x

逆元:

丢线

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

推导过程如下

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）（|为整除号）

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理!!!

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一种通用的求逆元方法，适合所有情况。

公式如下:

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

而对于(a/b)%m== 一个数

　　1.当m是素数的时候,根据费马小定理(不懂的可以去这儿看看),直接输出b^(n-2)即可

　　2.否则,就根据扩展欧几里得exgcd(b,m,x,y)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;
int a,b,m;
int x,y;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
    tmp=x,x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return r;
}

int fastpow(int a,int p)
{
    int bb=a;int ans=1;
    while(p!=0)
    {
        if(p%2==1)ans=ans*bb;
        bb=bb*bb;
        p=p/2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
    for(int i=1;i<=sqrt(m);i++)
    {
        if(m%i==0)
        {
            int ans=exgcd(b,m,x,y);
            printf("%d",(a*ans)%m);
            return 0;
        }
    }
    printf("%d",fastpow(b,m-2));
}