Problem Description：
Alice 和 Bob 在玩一个游戏。给定 k 个数字 a1,a2,……，ak。一开始，有n堆硬币，每堆各有 Xi 枚硬币。Alice 和 Bob 轮流选出一堆硬币，从中取出一些硬币。每次所选硬币的枚数一定要在 a1,a2,……，ak 当中。Alice先取，取光硬币的一方获胜。当双方都采取最优策略时，谁会获胜？题目保证a1,a2……中一定有1.
1<=n<=1000000
1<=k<=100
1<=Xi,ai<=10000
Input：
n=3
k=3
a={1,3,4}
x={5 ,6,7}
Output：
Alice
这和4.1.1中介绍的硬币问题类似，但那道题中只有一堆硬币，而本题中有n堆。如果依然用动态规划算法的话，状态数将高达O（X1*X2*……*Xn）。
为了更高效地求解这个问题，要了解一下Grundy值这一重要概念。利用它，不光是这个游戏，其他许多游戏都可以转换成前面所介绍的Nim。
让我们再来考虑一下只有一堆硬币的情况。硬币枚数所对应的Grundy值的计算方法如下。
int grundy(int x){
S={};
for(i=1,……,k){
if(a_i<=x)
//将Grundy（x-a_i）加到S中
}
return //最小的不属于S的非负整数
}
也就是说，当前状态的Grundy值就是除任意一步所能转移到的状态的Grundy值以外的最小非负整数。这样的Grundy值，和Nim中的一个石子堆类似，有如下性质。
Nim中有x颗石子的石子堆，能够转移成0，1，……，x-1颗石子的石子堆；
从Grundy值为x的状态出发，可以转移到Grundy值为0,1，……，x-1的状态；
只不过，与Nim不同的是转移后的Grundy值也有可能增加。不过，对手总能选取合适的策略再转移回相同Grundy值的状态，所以对胜负没有影响。（但是，对于状态可能有循环时，需要注意不分胜负·达成平局（游戏不会结束）的情况。因为在这个游戏中，石子数始终是减少的，所以不会发生平局）
另外，上面的程序是用单纯的递归函数实现的，改成动态规划或记忆化搜索之后，就能够保证求解的复杂度为O（xk）。
了解了一堆硬币的Grundy值的计算方法之后，就可以将它看作Nim中的一个石子堆。Nim中为什么用如下方法判断胜负。
所有石子堆的石子数Xi的XOR
X1 XOR X2 XOR …… XOR Xk
为零则必败，否则必胜
Grundy值等价于Nim中的石子数，所以对于Grundy值的情况，有
所有硬币堆的Grundy值的XOR
grundy(X1) XOR grundy(X2) XOR ……XOR grundy(Xk)
为零则必败，否则必胜
不光是这个游戏，在许多游戏中，都可以根据“当前状态的Grundy值等于除任意一步所能转移到的状态的Grundy值以外的最小非负整数”这一性质，来计算Grundy值，再根据XOR来判断胜负。
//输入
int N,K,X[MAX_N],A[MAX_K];
//利用动态规划计算Grundy值的数组
int grundy[MAX_N+1];
void solve(){
//轮到自己时剩0枚则必败
grundy[0]=0;
//计算grundy值
int max_x= *max_element(X,X+N);
for(int j=1;j<max_x;j++){
set<int> s;
for(int i=0;i<K;i++)
if(A[i]<=j)
s.insert(grundy[j-A[i]]);
int g=0;
while(s.count(g)!=0) g++;
grund[j]=g;
}
//判断胜负
int x=0;
for(int i=0;i<N;i++)
x^=grundy[x[i]];
if(x) puts("Alice");
else puts("Bob");
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/astonc/p/9954838.html