- 题目描述:
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把只包含因子2、3和5的数称作丑数(Ugly Number)。例如6、8都是丑数,但14不是,因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。
- 输入:
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输入包括一个整数N(1<=N<=1500)。
- 输出:
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可能有多组测试数据,对于每组数据,输出第N个丑数。
- 样例输入:
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3
- 样例输出:
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3
所谓一个数m是另一个数n的因子,是指n能被m整除,也就是n
% m == 0。根据丑数的定义,丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除,我们把它连续除以2;如果能被3整除,就连续除以3;如果能被5整除,就除以连续5。如果最后我们得到的是1,那么这个数就是丑数,否则不是。
基于前面的分析,我们可以写出如下的函数来判断一个数是不是丑数:
bool IsUgly(int number) { while(number % 2 == 0) number /= 2; while(number % 3 == 0) number /= 3; while(number % 5 == 0) number /= 5; return (number == 1) ? true : false; }
接下来,我们只需要按顺序判断每一个整数是不是丑数,即:
int GetUglyNumber(int index) { if(index <= 0) return 0; int number = 0; int uglyFound = 0; while(uglyFound < index) { ++number; if(IsUgly(number)) ++uglyFound; } return number; }
我们只需要在函数GetUglyNumber中传入参数1500,就能得到第1500个丑数。该算法非常直观,代码也非常简洁,但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数,我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高。
接下来我们换一种思路来分析这个问题,试图只计算丑数,而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义,丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果(1除外)。因此我们可以创建一个数组,里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。
这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数,排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数,该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候,能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的,小于或者等于M肯定已经在数组中了,我们不需再次考虑;我们还会得到若干个大于M的结果,但我们只需要第一个大于M的结果,因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的,其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果,记为M2。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5,能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。
前面我们分析的时候,提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5,事实上是不需要的,因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言,肯定存在某一个丑数T2,排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数,在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置,同时每次生成新的丑数的时候,去更新这个T2。对乘以3和5而言,存在着同样的T3和T5。
有了这些分析,我们不难写出如下的代码:
int pUglyNumbers[1501]; int GetUglyNumber(int index) { if(index <= 0) return 0; pUglyNumbers[0] = 1; int nextUglyIndex = 1; int index2 = 0; int index3 = 0; int index5 = 0; while(nextUglyIndex < index) { int min = Min(pUglyNumbers[index2] * 2, pUglyNumbers[index3] * 3, pUglyNumbers[index5] * 5); pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min; while(pUglyNumbers[index2] * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++index2; while(pUglyNumbers[index3] * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++index3; while(pUglyNumbers[index5] * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++index5; ++nextUglyIndex; } int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1]; return ugly; }
和第一种思路相比,这种算法不需要在非丑数的整数上做任何计算,因此时间复杂度要低很多。当然我们也要指出,第二种算法由于要保存已经生成的丑数,因此需要一个数组,从而需要额外的内存。第一种算法是没有这样的内存开销的。
完整的代码如下:
优化前:
#include <stdio.h> bool IsUgly(int number) { while(number % 2 == 0) number /= 2; while(number % 3 == 0) number /= 3; while(number % 5 == 0) number /= 5; return (number == 1) ? true : false; } int GetUglyNumbe(int index) { if(index <= 0) return 0; int number = 0; int uglyFound = 0; while(uglyFound < index) { ++number; if(IsUgly(number)) ++uglyFound; } return number; } void main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n",GetUglyNumbe(n)); printf("\n"); }
优化后:
#include <stdio.h> int pUglyNumbers[1501]; int Min(int number1, int number2, int number3) { int min = (number1 < number2) ? number1 : number2; min = (min < number3) ? min : number3; return min; } int GetUglyNumber(int index) { if(index <= 0) return 0; pUglyNumbers[0] = 1; int nextUglyIndex = 1; int index2 = 0; int index3 = 0; int index5 = 0; while(nextUglyIndex < index) { int min = Min(pUglyNumbers[index2] * 2, pUglyNumbers[index3] * 3, pUglyNumbers[index5] * 5); pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min; while(pUglyNumbers[index2] * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++index2; while(pUglyNumbers[index3] * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++index3; while(pUglyNumbers[index5] * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) ++index5; ++nextUglyIndex; } int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1]; return ugly; } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n",GetUglyNumber(n)); return 0; }
测试结果: