母函数(转)

学了好长时间母函数了,一直没时间进行总结(忙于一些琐事),今天正好放一天假,趁空闲,对母函数做个总结,以便以后更加方便学习。

进入主题:

我对母函数的理解是,母函数,顾名思义,就是母亲,那就说明,在这个函数里面还有儿子,即子函数。说白了,就是子函数可以看作是母函数的一个子集。

而如何把这些子函数用一个母函数来表示呢?即所谓的通项公式,我个人觉的这是问题的症结之处,解决了这一症结,那么,后面的问题就容易多了。

下面我来谈谈怎么来求解母函数:

看过许多有关母函数的资料,介绍母函数的思想基本一样,我这里就通俗理解为:母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合,而子函数就是这个多项式每一项前面的系数。

那么,在碰到问题时,我们如何区分它是不是要用母函数来求解?如果用到母函数,那么需要什么样的母函数来求解?母函数是用来解决哪种类型的问题?

我想这是包括我在内的很多初次接触母函数的朋友所关心的问题。

下面我来逐一做出解答:

    1. 什么样的题型适合用母函数

母函数有普通型的,也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的,指数型的较少,主要用来求解多重排列的题型(我至今未涉及到有关指数型的母函数,希望读者提议,若以后碰到,我会加以补充),接下来,我重点说一下普通型母函数。

普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。

例如,对于有n种物品,如果第i个物品有ki个,我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn),每一项表示对于第i件物品,可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法,【注意系数都为1,因为同种物品去i件,它的取法是1】多项相乘:因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】,  是组合计数的乘法原理, x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.(可以参考hduacm课件)

整数拆分

hdu 1028

The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

#include"iostream"
using namespace std;
#define  N 130
int a[N+1],b[N+1];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n&&n!=0)
    {
        for(i=0; i<=n; i++)
        {
            a[i]=1;
            b[i]=0;
        }
        for(i=2; i<=n; i++)
        {
            for(j=0; j<=n; j++)
                for(k=0; k+j<=n; k+=i)
                {
                    b[k+j]+=a[j];
                }
            for(j=0; j<=n; j++)
            {
                a[j]=b[j];
                b[j]=0;
            }
        }
        cout<<a[n]<<endl;
    }
    return 0;

}

hdu 2082

假设有x1个字母A, x2个字母B,..... x26个字母Z,同时假设字母A的价值为1,字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么,对于给定的字母,可以找到多少价值<=50的单词呢?单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和,比如,单词ACM的价值是1+3+14=18,单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关,比如ACM与CMA认为是同一个单词)。

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define N 50
#define M 26
int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1];
int main()
{
    int n,i,j,k,sum;

    cin>>n;
    while(n--)

    {
        sum=0;

        for(i=0; i<26; i++)
        {
            cin>>a[i];
            b[i]=i+1;
        }
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        c1[0]=1;

        for(i=0; i<26; i++)
        {
            for(j=0; j<=50; j++)
                if(c1[j])
                    for(k=0; k+j<=50&&k<=a[i]*b[i]; k+=b[i])

                    {
                        c2[k+j]+=c1[j];
                    }
            for(j=0; j<=50; j++)

            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        for(i=1; i<=50; i++)
            sum+=c1[i];
        cout<<sum<<endl;

    }
    return 0;
}

2,需要什么样的母函数来求解

可以说不同的问题,有不同的解法,对于一道可以用母函数来求解的题而言,可能还有比母函数更简洁的方法,因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数,在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解,那么,该如何选定合适的母函数呢?

母函数的框架基本一样,

如hdu1028,

for(i=2; i<=n; i++)
{
    for(j=0; j<=n; j++)
        for(k=0; k+j<=n; k+=i) //关键
        {
            b[k+j]+=a[j];
        }
    for(j=0; j<=n; j++)
    {
        a[j]=b[j];
        b[j]=0;
    }
}

如hdu2082,

for(i=0; i<26; i++){    for(j=0; j<=50; j++)        if(c1[j])            for(k=0; k+j<=50&&k<=a[i]*b[i]; k+=b[i]) //关键
                c2[k+j]+=c1[j];    for(j=0; j<=50; j++)    {

        c1[j]=c2[j];

        c2[j]=0;

    }}

注:根据题意,仔细分析,建立关系。

from:http://www.cnblogs.com/FCWORLD/archive/2010/10/10/1847218.html

时间: 2024-10-29 19:09:03

母函数(转)的相关文章

HDU 2189 悼念512汶川大地震遇难同胞——来生一起走(母函数或完全背包)

悼念512汶川大地震遇难同胞--来生一起走 Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 3773    Accepted Submission(s): 1913 Problem Description 妈妈你别哭泪光照亮不了我们的路让我们自己慢慢的走 妈妈我会记住你和爸爸的模样记住我们的约定来生一起走 上面这首诗节选自一位诗人纪念遇难

HDU 2065 红色病毒 指数型母函数+泰勒公式

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的. 现在有一长度为N的字符串,满足一下条件: (1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成; (2) A出现偶数次(也可以不出现); (3) C出现偶数次(也可以不出现); 计算满足条件的字符串个数. 当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC. 由于这个数据

bzoj 3028: 食物 -- 母函数

3028: 食物 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MB Description 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险! 我们暂且不讨论他有多么NC,他又幻想了他应该带一些什么东西.理所当然的,你当然要帮他计算携带N件物品的方案数. 他这次又准备带一些受欢迎的食物,如:蜜桃多啦,鸡块啦,承德汉堡等等 当然,他又有一些稀奇古怪的限制: 每种食物的限制如下: 承德汉堡:偶数个 可乐:0个或1个 鸡腿:0个,1个或2个 蜜桃多:奇数个 鸡块

母函数的基础内容

母関数の原初 看了论文和数学书后晕乎乎的 为了理解定义,透彻地理解,这篇博文仅限于一些基础公式和小问题(开胃菜?) 零.预备知识 呐,假装知道了母函数的所有知识,看看一些不加证明的公式 普通的母函数 1. 2.令g(n)为母函数第n项的系数,由插板法可得 3.最终结论 一.例题一 from http://www.wutianqi.com/ 我们有1g.2g.3g.4g砝码各一枚,问可称出哪几种重量?每种重量含有那些方案? The First kiss 假设x表示砝码(物品),x的指数表示单个砝码

HDU4609 3-idiots(母函数 + FFT)

题目 Source http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609 Description King OMeGa catched three men who had been streaking in the street. Looking as idiots though, the three men insisted that it was a kind of performance art, and begged the king to fre

母函数入门+模板(转)

在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息.使用母函数解决问题的方法称为母函数方法. 母函数可分为很多种,包括普通母函数.指数母函数.L级数.贝尔级数和狄利克雷级数.对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数.构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型. 这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看: 1.“把组合问题的加法法则和幂级数

hdu 1028 整数划分 (母函数)

假如输入44 = 4;4 = 3 + 1;4 = 2 + 2;4 = 2 + 1 + 1;4 = 1 + 1 + 1 + 1;一共5种 假如输入3 用母函数的方法就是写成(1+X+X2+X3)(1+X2)(1+X3) 展开后 求X3的系数 假如输入n就是(1+X+X2+X3+X4....)(1+X2+X4+X6..)(1+X3+X6...)(....) Sample Input41020 Sample Output542627 1 # include <iostream> 2 # includ

指数型母函数理解

普通型母函数主要是求组合的方案数,而指数型母函数则是求多重排列数. 例如:设有8个元素,a1重复3次,a2重复2次,a3重复3次.从中取出r个集合,求其组合数. 推荐:http://www.wutianqi.com/?p=2644 对于代码的推荐:http://blog.csdn.net/a342374071/article/details/6537960 以hdu 1521为例: 有n种物品,并且知道每种物品的数量.要求从中选出m件物品的排列数.例如有两种物品A,B,并且数量都是1,从中选2件

ZOJ 题目2734 Exchange Cards(DFS 去重OR 母函数)

Exchange Cards Time Limit: 2 Seconds      Memory Limit: 65536 KB As a basketball fan, Mike is also fond of collecting basketball player cards. But as a student, he can not always get the money to buy new cards, so sometimes he will exchange with his

HDOJ 找单词 2082【母函数】

找单词 Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 5024    Accepted Submission(s): 3575 Problem Description 假设有x1个字母A, x2个字母B,..... x26个字母Z,同时假设字母A的价值为1,字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26.那么,对于给定的字母,可以找