学了好长时间母函数了,一直没时间进行总结(忙于一些琐事),今天正好放一天假,趁空闲,对母函数做个总结,以便以后更加方便学习。
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我对母函数的理解是,母函数,顾名思义,就是母亲,那就说明,在这个函数里面还有儿子,即子函数。说白了,就是子函数可以看作是母函数的一个子集。
而如何把这些子函数用一个母函数来表示呢?即所谓的通项公式,我个人觉的这是问题的症结之处,解决了这一症结,那么,后面的问题就容易多了。
下面我来谈谈怎么来求解母函数:
看过许多有关母函数的资料,介绍母函数的思想基本一样,我这里就通俗理解为:母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合,而子函数就是这个多项式每一项前面的系数。
那么,在碰到问题时,我们如何区分它是不是要用母函数来求解?如果用到母函数,那么需要什么样的母函数来求解?母函数是用来解决哪种类型的问题?
我想这是包括我在内的很多初次接触母函数的朋友所关心的问题。
下面我来逐一做出解答:
- 什么样的题型适合用母函数
母函数有普通型的,也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的,指数型的较少,主要用来求解多重排列的题型(我至今未涉及到有关指数型的母函数,希望读者提议,若以后碰到,我会加以补充),接下来,我重点说一下普通型母函数。
普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。
例如,对于有n种物品,如果第i个物品有ki个,我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn),每一项表示对于第i件物品,可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法,【注意系数都为1,因为同种物品去i件,它的取法是1】多项相乘:因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】, 是组合计数的乘法原理, x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.(可以参考hduacm课件)
整数拆分
hdu 1028
The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"
#include"iostream" using namespace std; #define N 130 int a[N+1],b[N+1]; int main() { int n,i,j,k; while(cin>>n&&n!=0) { for(i=0; i<=n; i++) { a[i]=1; b[i]=0; } for(i=2; i<=n; i++) { for(j=0; j<=n; j++) for(k=0; k+j<=n; k+=i) { b[k+j]+=a[j]; } for(j=0; j<=n; j++) { a[j]=b[j]; b[j]=0; } } cout<<a[n]<<endl; } return 0; }
hdu 2082
假设有x1个字母A, x2个字母B,..... x26个字母Z,同时假设字母A的价值为1,字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么,对于给定的字母,可以找到多少价值<=50的单词呢?单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和,比如,单词ACM的价值是1+3+14=18,单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关,比如ACM与CMA认为是同一个单词)。
#include<iostream> #include<string.h> using namespace std; #define N 50 #define M 26 int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1]; int main() { int n,i,j,k,sum; cin>>n; while(n--) { sum=0; for(i=0; i<26; i++) { cin>>a[i]; b[i]=i+1; } memset(c1,0,sizeof(c1)); memset(c2,0,sizeof(c2)); c1[0]=1; for(i=0; i<26; i++) { for(j=0; j<=50; j++) if(c1[j]) for(k=0; k+j<=50&&k<=a[i]*b[i]; k+=b[i]) { c2[k+j]+=c1[j]; } for(j=0; j<=50; j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; } } for(i=1; i<=50; i++) sum+=c1[i]; cout<<sum<<endl; } return 0; }
2,需要什么样的母函数来求解
可以说不同的问题,有不同的解法,对于一道可以用母函数来求解的题而言,可能还有比母函数更简洁的方法,因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数,在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解,那么,该如何选定合适的母函数呢?
母函数的框架基本一样,
如hdu1028, for(i=2; i<=n; i++) { for(j=0; j<=n; j++) for(k=0; k+j<=n; k+=i) //关键 { b[k+j]+=a[j]; } for(j=0; j<=n; j++) { a[j]=b[j]; b[j]=0; } } 如hdu2082, for(i=0; i<26; i++){ for(j=0; j<=50; j++) if(c1[j]) for(k=0; k+j<=50&&k<=a[i]*b[i]; k+=b[i]) //关键 c2[k+j]+=c1[j]; for(j=0; j<=50; j++) { c1[j]=c2[j]; c2[j]=0; }}
注:根据题意,仔细分析,建立关系。
from:http://www.cnblogs.com/FCWORLD/archive/2010/10/10/1847218.html