有一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑他们尺寸大小的新几何学，叫做拓扑学。有时人们也称它是橡皮膜上的几何学。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化，但也有一些图形的性质保持不变。例如点变化后还是点，线变化后依旧是线；相交的图形决不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变的性质。在这种几何中，扭曲和拉长（但不包括撕开和接合）称为拓扑变换。图形在拓扑变换下保持不变的性质，称为图形的拓扑性质。
三角形和圆使两种截然不同的图形，但他们都是简单的封闭曲线。在拓扑变换下，三角形能变成圆，三角形的内部变成了圆的内部，三角形的外部变成了圆的外部。这就是说，简单封闭曲线的内部和外部具有拓扑性质。
图１显出了画在一块矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圆的情形。
从图２的三个图形可以想象出他们各自表示什么东西。在拓扑变换下，他们中的每一个图形都能变成另一个图形。
传说古波斯穆罕默德的继承人哈立发，为了挑女婿曾经给络绎不绝的求婚者出过这样一个题目：请用线把图３中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交。
这个问题似乎很简单，但实际上没有一个求婚者能够如愿以偿。事实上，如图4，我们很容易把①-①、②-②连起来，从而得到一条简单的封闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和外部这两个区域。其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域。要想从闭曲线内部的③，画一条线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！
用一个正方体做游戏：如图5，假设正方体的八个顶点表示均匀分布在地球上的八个城市，而每个城市都有三条路线与毗邻城市相连。某学者从A城出发，要到C′城去考察，途中顺便到其他的六个城市旅游。要求这六个城市都只经过一次而最后到达C′城。请画出他的旅行路线。
要找出这条路线，最好是把它化为平面上的图形来考虑。为此，我们不妨设想这正方体是由有弹性的橡皮薄膜制成，再用剪刀沿着棱剪掉它的一个面，然后扯着这个缺口把它拉开铺平，就成为一个平面图形。这个图形叫做正方体的拓扑平面图（如图6）。图中的粗线和箭头方向就表示它的一种解答。
如果这个旅行者最后要到达的城市不是C′而是D′，那么他的旅行路线又该是怎样的呢？要画出这条路线的任何尝试总是不会成功。为什么呢？
把这八个城市按图7用两种不同的颜色区分开，这样，用一条棱连接的两个顶点颜色都不同，那么以A点为出发点的第1号城市，以后到达的各城市依次编为2，3，…，8，可以知道：编为奇数的城市都应该是白色的；编为偶数的城市都应该是黑色的，作为最后到达的第8号城市当然是黑色的。可见，从A城出发，以B′、D′、C为终点，中途又要不重复地经过其他六个城市的路线都是不存在的。
下面是一道涉及拓扑学知识的数学竞赛题。
图8是从一个8×10格的矩形纸上剪去两个1×1的小方格后得到的。能不能把它全部剪成1×2格大小的矩形小纸片呢？为什么？
这是不可能的，由它上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上染有不同的颜色。假设它能全部剪成这样的小矩形纸片，那么它上面两种颜色的格子数目应当相等。但它的灰色小方格比白色小方格少2个。所以它能全部剪成1×2格小矩形纸片的假设是错误的。因此，不可能把它全部剪成这样的小纸片
(选自《数学课外读物》)