转:深入探讨透视投影坐标变换

1. 一般概念

所谓透视投影变换，就是view 空间到project 空间的带透视性质的坐标变换步骤（这两

个空间的定义可以参考其他文档和书籍）。我们首先来考虑它应该具有那些变换性质。很显然，它至少要保证我们在view空间中所有处于可视范围内的点通过变换之后，统统落在project空间的可视区域内。好极了，我们就从这里着手——先来看看两个空间的可视区域。

由于是透视变换，view空间中的可见范围既是常说的视平截体（view frustum）。如图，

（图1）

它就是由前后两个截面截成的这个棱台。

从view空间的x正半轴看过去是下图这个样子。

（图2）

接下来是project空间的可视范围。这个空间应当是处于你所见到的屏幕上。实际上将屏幕表面视作project空间的xoy平面，再加一条垂直屏幕向里（或向外）的z轴（这取决于你的坐标系是左手系还是右手系），这样就构成了我们想要的坐标系。好了，现在我们可以用视口（view port）的大小来描述这个可视范围了。比如说全屏幕640*480的分辨率，原点在屏幕中心，那我们得到的可视区域为一个长方体，它如下图（a）所示。

（图3）

但是，这样会带来一些设备相关性而分散我们的注意力，所以不妨先向DirectX文档学学，将project空间的可视范围定义为x∈[-1,1], y∈[-1,1], z∈[0,1]的一个立方体(上图b)。这实际上可看作一个中间坐标系，从这个坐标系到上面我们由视口得出的坐标系，只需要对三个轴向做一些放缩和平移操作即可。另外，这个project坐标系对clip操作来说，也是比较方便的。

1. 1. 推导过程

   先从project空间的x正半轴看看我们的变换目标。

   （图4）

   这个区域的上下边界为y’=±1, 而图2中的上下边界为y = ± z * tan(fov/2)，要实现图

   2到图4的变换，我们有y’ = y * cot(fov/2) / z。这下完了，这是一个非线性变换，怎么用矩阵计算来完成呢？还好我们有w这个分量。注意到我们在做投影变换之前所进行的两次坐标变换——world变换和view变换，他们只是一系列旋转平移和缩放变换的叠加。仔细观察这些变换矩阵，你会发现它们其实不会影响向量的w分量。换句话说，只要不是故意，一个w分量等于1的向量，再来到投影变换之前他的w分量仍旧等于1。好的，接下来我们让w’= w*z, 新的w就记录下了view空间中的z值。同时在y分量上我们退而求其次，只要做到y’ = y * cot(fov/2)。那么，在做完线性变换之后，我们再用向量的y除以w，就得到了我们想要的最终的y值。

   x分量的变换可以如法炮制，只是fov要换一换。事实上，很多用以生成投影变换矩阵的函数都使用了aspect这个参数。这个参数给出了视平截体截面的纵横比(这个比值应与view port的纵横比相等，否则变换结果会失真)。如果我们按照惯例，定义aspect = size of X / size of Y。那么我们就可以继续使用同一个fov而给出x分量的变换规则：x’ = x * cot(fov/2) / aspect。

   现在只剩下z分量了。我们所渴望的变换应将z = Znear 变换到z = 0，将z = Zfar变换到z = 1。这个很简单，但是等等，x, y最后还要除以w，你z怎能例外。既然也要除，那么z = Zfar 就不能映射到z = 1了。唔，先映射到z = Zfar试试。于是，有z’ = Zfar*(z-Znear)/(Zfar – Znear)。接下来，看看z’/z的性质。令f(z) = z’/z = Zfar*(z-Znear)/（z*(Zfar – Znear)）。

   则f’(z) = Zfar * Znear / ( z^2 * (Zfar –Znear )), 显而易见f’(z) > 0。所以除了z = 0是一个奇点，函数f(z)是一个单调增的函数。因此，当Znear≤z≤Zfar时，f(Znear)≤f(z)≤f(Zfar),

   即0≤f(z)≤1。

   至此，我们可以给出投影变换的表达式了。

   x’ = x*cot(fov/2)/aspect

   y’ = y*cot(fov/2)

   z’ = z*Zfar / ( Zfar – Znear ) – Zfar*Znear / ( Zfar – Znear )

   w’ = z

   以矩阵表示，则得到变换矩阵如下，

   cot(fov/2)/aspect 0 0 0

   0 cot(fov/2) 0 0

   0 0 Zfar/(Zfar-Znear) 1

   0 0 -Zfar*Znear/(Zfar-Znear) 0。

   做完线性变换之后，再进行所谓的“归一化”，即用w分量去除结果向量。

   　　现在我们考虑一下这个变换对全view空间的点的作用。首先是x和y分量，明了地，当z>0时，一切都如我们所愿；当z<0时，x和y的符号在变换前后发生了变化，从图象上来说，view空间中处于camera后面的图形经过变换之后上下颠倒，左右交换；当z= 0 时，我们得到的结果是无穷大。这个结果在实际中是没有意义的，以后我们得想办法弄掉它。再来看z,

   仍旧拿我们上面定义的f(z)函数来看，我们已经知道当z≥Zfar时，f(z)≥1;同时当z→+∞，f(z)→Zfar/(Zfar-Znear);当z→+0时，f(z)→-∞; z→-0时，f(z)→+∞; z→∞时，f(z)→Zfar/(Zfar-Znear).由此我们画出f(z)的图像。

   （图5）

   由此图可以看出当z≤0时，如果我们仍旧使用f(z)进行绘制会产生错误。所以我们会想需要clip操作——只要这个三角形有任意一个顶点经过变换后z值落在[Zfar/(Zfar-Znear), +∞]区间中，我们就毫不怜悯地抛弃她——因为无论如何，这个结果是错的。那么万一有三角形在view空间内横跨了Znear到0的范围，按我们想应该是画不出来了。但是回想一下我们所看见过的DirectX程序，似乎从未看到过这种情况。有点奇怪，但是不得不先放放，稍后再说。

   3．到DirectX中求证

   在DirectX中拿一个用fov生成投影矩阵的函数来看。

   D3DXMATRIX* D3DXMatrixPerspectiveFovLH( D3DXMATRIX* pOut, FLOAT fovy, FLOAT Aspect,

   FLOAT zn, FLOAT zf )

   这个函数恰好使用了我们刚才推导所使用的几个参数，经过一些数据的代入计算之后，我们就会发现它所产生的矩阵就是我们计算出来的。看来，DirectX的思路和我们是一致的。好的，一个问题解决了，但一个新的问题接着产生——DirectX是怎么做clip的？我不知道，而且看样子现在也知道不了，只能期待牛人相助或者是碰到一本好书了。

   4．研究ps2lib的投影变换

   　　其实投影变换都是一回事，但是PS2lib的函数怎么有点不一样呢？仔细看看，原来我们的思路是先做“归一化”，然后再做view port的放缩和平移，而PS2不是这样——它把“归一化”放在最后。接下来，我们就按这个顺序试试。

   先看缩放操作，把它和除z交换顺序很方便，直接换便是了。于是我们记view port 的宽度为Vw，高度为Vh, Z缓存的最大值为Zmax, 最小值为Zmin则有

   x’ = x * cot(fov/2)/aspect*(Vw/2)

   y’ = y * cot(fov/2)*(Vh/2)

   z’ = Zfar(z-Znear)/(Zfar-Znear) * (Zmax-Zmin);

   w’ = z

   再看平移部分，既然是要平移后再除，则必须平移原来的z倍，于是我们又记view port中心坐标为（Cx, Cy）,就有

   x’’ = x’ + z * Cx

   y’’ = y’ + z * Cy

   z’’ = z’ + z * Zmin

   w’’ = w

   好的，我们看看cot(fov/2)等于什么，从图2看，实际上它就是D/(Vh/2)，那么cot(fov/2)/aspect实际上就是D/(Vw/2)。但是，ps2在这上面耍了个小花招，它在view空间中的view port和project空间的view port可以不相等。最明显的一点是，它在view空间中的view port的高度为480，但实际上它的输出的y向分辨率只有224。也就是说，ps2想要输出纵横比等于电视机的图像，就必须在y向上再加一个缩放。这个缩放在我们的变换中体现在哪呢？就在y’ = D/（Vh/2） * (Vhscr/2)中，注意到两个Vh不相等（project空间中的Vh记成Vhscr），两个值一运算就得到x’ = D*(224/480) = 0.466667D。这个0.4666667就是ps2lib函数参数ay的由来。同理，我们亦可得知ax一般应取值为1。那么，实际上ps2lib函数的scrz，ax, ay三个参数的作用等同于DirectX的象形函数的fov和aspect，在确定的规则下，他们可以相互转换，得到性质完全相同的透视变换。至于这个规则，这里就不给出了。

   转回正题，有了上面的讨论，我们就可以展开我们的变换表达式如下，

   x’’ = x * scrz * ax + z * Cx

   y’’ = x * scrz * ay + z * Cy

   z’’ = z * (Zfar*Zmax–Znear*Zmin)/(Zfar – Znear)

   –Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear)

   w’’ = z

   z分量好像还有点不一样，注意到一般ps2程序在z buffer的操作为greater&equal，而DirectX的操作为less&equal，就是说，z方向得做些变动——得把z=Znear映射到z’’ = Zmax，z=Zfar映射到z’’=Zmin。说变就变，我们马上有

   z’ = Zfar(z-Znear)/(Zfar-Znear)*(Zmin-Zmax)

   z’’ = z’+Zmax

   再次展开，得到z’’ = z * (Zfar*Zmin–Znear*Zmax)/(Zfar – Znear )

   + Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear)

   好了，用矩阵把这个变换写出来，

   scrz*ax 0 0 0

   0 scrz*ay 0 0

   Cx Cy (Zfar*Zmin–Znear*Zmax)/(Zfar – Znear ) 1

   0 0 Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear) 0，

   这下就完全一样了。下面的任务就是看看这个变换的性质。因为最后同样要除以z，所以x，y分量上的情形的和原来我们推导的DirectX的投影变换是一样的，区别在z分量上。来看新的f(z)函数，它的图像为

   （图6）

   5．结论

   至此，我们已经完成了预定的目标。但是，将坐标变换完全掌握之后，为了做一个像样的图形程序，我们还有更多事情要做——至少在PS2上是这样?。