上下界网络流总结

1.无源汇上下界可行流

对于（u,v）有向边，上界为a，下界为b 构图方法为：

（1） ss 到 v 容量为 b

（2） u 到 tt 容量为 b

（3） u 到 v 容量为 a-b

求ss-tt最大流，当且仅当 maxflow=sigma（i,t）=sigma（s，i) 时 存在可行流

2.有源汇上下界最小流

如果发现原图无源汇，要先转化为有源汇

其他点如1方法，建图，另加 t-s 容量为 inf

求一遍 ss-tt最大流，此时s-t的流量为 t-s这条边的反向边的流量，记为 x

在残量网络中删去 t-s 边，具体方法为 e[i].v:=0 e[i xor 1].v:=0

求一遍 t-s最大流（注意是 t-s），记此时的最大流为y

则最小可行流为x-y （可以理解为求出一个可行流，然后退掉了一些无用流）

3.有源汇上下界最大流

构图如2，只是求完ss-tt最大流后，不做记录，也不删边，直接在残量网络上求s-t最大流，即为答案

（可以理解为，求出一个可行流后，发现还可现流更多的流，就求s-t最大流 之所以可以不删边

是因为第一次ss-tt最大流完了之后s-t的流量存在 t-s的反向边s-t中，在跑s-t最大流的时候已经将其算入答案）

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