一、说明
本博客讲述内容根据MIT线性代数第二十八课归纳而成。
MIT线性代数链接：http://open.163.com/newview/movie/courseintro?newurl=%2Fspecial%2Fopencourse%2Fdaishu.html
二、主要讲述问题
1-如何判断一个矩阵是正定矩阵
2-正定矩阵的最小值
3-正定矩阵的几何解释
三、如何判断一个矩阵是正定矩阵
1-首先我们需要明确一个概念-正定矩阵
一个矩阵是正定矩阵，那么必须要满足以下的关系
(1)它必须是一个nXn的方阵（我们用符号A来表示）
（2）对于任意的一个向量x（不是每一个元素都是0）, 都必须满足这样的一个条件：$x^{T}Ax>0$
2-正定矩阵具有的特点（这个可以参考第二十六课内容，如果有时间我会补充）
（1）它的所有的主元都必须是大于0的
（2）它的所有的特征值都是大于0的（实际上，特征值和主元的符号是相同的，比如，如果主元有三个正的，两个负的，那么特征值也是这样）
（3）它的所有的子行列式都是大于0的。
至于什么是子行列式，我们可以看一下下面的例子：
对于一个矩阵：
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$
那么它的子行列式有：$\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}$,
$\begin{bmatrix}2 & 3\\ 0& 2\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$
3-如何判断
根据上面的条件，那么自然而然就知道如何判断一个矩阵是不是正定矩阵：
（1）只有所有的主元都是正的，那么这个矩阵是正定矩阵
（2）所有的特征值是正的，那么这个矩阵是正定矩阵
（3）这个矩阵的所有子行列式是正的，那么这个矩阵是正定矩阵
（4）如果对于矩阵A, $x^{T}Ax>0$ （这个是根据定义式出发）
4-一个例子
对于一个二阶矩阵$\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$，那么下面的四个条件都可以判断：
(1) $\lambda _{1}>0, \lambda _{2}>0$
(2) $a>0, \frac{ac-bd}{a}>0$
（3）$a>0, ac-bd>0$
(4) $x^{T}Ax>0$
如下面一个矩阵：$\begin{bmatrix}2 & 6\\ 6 & 18\end{bmatrix}$
我们可以看到，第一列和第二列存在一个倍数的关系，所以这是一个奇异矩阵。
奇异矩阵一定有一个特征值是0， 另外一个特征值就等于迹减去这个特征值（这里是根据特征值之和等于主对角线的元素之和，也就是迹）
所以另外一个特征值是：20。
可以看到，一个特征值是0，另外一个特征值大于0，这个时候我们说这个矩阵是一个半正定矩阵。
这个时候我们根据$x^{T}Ax$，看一下其得到的结果：
$x=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{1}\end{bmatrix} $
$f(x_{1},x_{2})=\begin{bmatrix} x_{1}&x_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 &6 \\ 6 & 18\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}$
$f(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}+12x_{1}x_{2}+18x_{2}^{2}$
这个时候函数就相当于：
$f(x,y)=2x^{2}+12xy+18y^{2}$
这个时候我们画出它的图像：
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