R语言使用Rasch模型分析学生答题能力

原文链接：http://tecdat.cn/?p=10175

几个月以来，我一直对序数回归与项目响应理论（IRT）之间的关系感兴趣。 在这篇文章中，我重点介绍Rasch分析。

最近，我花了点时间尝试理解不同的估算方法。三种最常见的估算方法是：

  • 联合最大似然（JML）
  • 条件逻辑回归，在文献中称为条件最大似然（CML）。
  • 标准多级模型，在测量文献中称为边际最大似然（MML）。

阅读后，我决定尝试进行Rasch分析，产生多个Rasch输出。

示范

进行此演示之后，可能需要ggplot2和dplyr的知识才能创建图表。

library(eRm) # Standard Rasch analysis with CML estimation
library(Epi) # For conditional logistic regression with contrasts
library(lme4) # For glmer
library(ggplot2) # For plotting
library(ggrepel) # For plot labeling
library(dplyr) # For data manipulation
library(scales) # For formatted percent on ggplot axes

数据。

raschdat1 <- as.data.frame(raschdat1)

CML估算

res.rasch <- RM(raschdat1)

系数。

coef(res.rasch)

beta V1      beta V2      beta V3      beta V4      beta V5
1.565269700  0.051171719  0.782190094 -0.650231958 -1.300578876
beta V6      beta V7      beta V8      beta V9     beta V10
0.099296282  0.681696827  0.731734160  0.533662275 -1.107727126
beta V11     beta V12     beta V13     beta V14     beta V15
-0.650231959  0.387903893 -1.511191830 -2.116116897  0.339649394
beta V16     beta V17     beta V18     beta V19     beta V20
-0.597111141  0.339649397 -0.093927362 -0.758721132  0.681696827
beta V21     beta V22     beta V23     beta V24     beta V25
0.936549373  0.989173502  0.681696830  0.002949605 -0.814227487
beta V26     beta V27     beta V28     beta V29     beta V30
1.207133468 -0.093927362 -0.290443234 -0.758721133  0.731734150

使用回归

raschdat1.long <- raschdat1
raschdat1.long$tot <- rowSums(raschdat1.long) # Create total score
c(min(raschdat1.long$tot), max(raschdat1.long$tot)) # Min and max score

[1]  1 26

raschdat1.long$ID <- 1:nrow(raschdat1.long) # create person ID
raschdat1.long <- tidyr::gather(raschdat1.long, item, value, V1:V30) # Wide to long
# Make item a factor
raschdat1.long$item <- factor(
  raschdat1.long$item, levels = paste0("V", 1:30), ordered = TRUE)

有条件最大似然


# Regression coefficients
coef(res.clogis)

item1        item2        item3        item4        item5
0.051193209  0.782190560 -0.650241362 -1.300616876  0.099314453
item6        item7        item8        item9       item10
0.681691285  0.731731557  0.533651426 -1.107743224 -0.650241362
item11       item12       item13       item14       item15
0.387896763 -1.511178125 -2.116137610  0.339645555 -0.597120333
item16       item17       item18       item19       item20
0.339645555 -0.093902568 -0.758728000  0.681691285  0.936556599
item21       item22       item23       item24       item25
0.989181510  0.681691285  0.002973418 -0.814232531  1.207139323
item26       item27       item28       item29
-0.093902568 -0.290430680 -0.758728000  0.731731557

请注意，item1是V2而不是V1，item29是V30。要获得第一个项目V1的难易程度，只需将项目1到项目29的系数求和，然后乘以-1。

sum(coef(res.clogis)[1:29]) * -1

[1] 1.565278

# A few more things to confirm both models are equivalent
res.rasch$loglik # Rasch log-likelihood

[1] -1434.482

# conditional logsitic log-likelihood, second value is log-likelihood of final model
res.clogis$loglik

[1] -1630.180 -1434.482

# One can also compare confidence intervals, variances, ...

# clogistic allows you to check the actual sample size for the analysis using:
res.clogis$n

[1] 3000

显然，所有数据（30 * 100）都用于估算。这是因为没有一个参与者在所有问题上都得分为零，在所有问题上都得分为1（最低为1，最高为30分中的26分）。所有数据都有助于估计，因此本示例中的方差估计是有效的

联合极大似然估计

# Standard logistic regression, note the use of contrasts
res.jml
# First thirty coefficients
coef(res.jml)[1:30]

(Intercept)        item1        item2        item3        item4
-3.688301292  0.052618523  0.811203577 -0.674538589 -1.348580496
      item5        item6        item7        item8        item9
0.102524596  0.706839644  0.758800752  0.553154545 -1.148683041
     item10       item11       item12       item13       item14
-0.674538589  0.401891360 -1.566821260 -2.193640539  0.351826379
     item15       item16       item17       item18       item19
-0.619482689  0.351826379 -0.097839229 -0.786973625  0.706839644
     item20       item21       item22       item23       item24
0.971562267  1.026247034  0.706839644  0.002613624 -0.844497142
     item25       item26       item27       item28       item29
1.252837340 -0.097839229 -0.301589647 -0.786973625  0.758800752

item29与V30相同。差异是由估算方法的差异引起的。要获得第一个项目V1的难易程度，只需将项目1到项目29的系数求和，然后乘以-1。

sum(coef(res.jml)[2:30]) * -1

[1] 1.625572

多级逻辑回归或MML

我希望回归系数是项目到达时的难易程度，并且glmmTMB()不提供对比选项。我要做的是运行glmer()两次，将第一次运行的固定效果和随机效果作为第二次运行的起始值。

使用多级模型复制Rasch结果

提供人员-物品映射：

plotPImap(res.rasch)

?

要创建此图，我们需要项目难度（回归系数* -1）和人员能力（随机截距）。

?

极端的分数是不同的。这归因于MML的差异。由于CML不提供人为因素，因此必须使用两步排序过程。

项目特征曲线

eRm用一条线提供项目特征曲线：

plotjointICC(res.rasch)

?

在这里，我们需要能够根据学生的潜能来预测学生正确答题的概率。我所做的是使用逻辑方程式预测概率。一旦获得该对数奇数，就很容易计算预测概率。由于我使用循环来执行此操作，因此我还要计算项目信息，该信息是预测概率乘以1-预测概率。


## GGPLOT-ING
ggplot(test.info.df, aes(x = theta, y = prob, colour = reorder(item, diff, mean))) +
  geom_line() +
  scale_y_continuous(labels = percent) +
  scale_x_continuous(breaks = -6:6, limits = c(-4, 4)) +
  labs(x = "Person ability", y = "Probability of correct response", colour = "Item",
       title = "Joint item characteristic plot") +
  theme_classic()

?

下面将逐项绘制

ggplot(test.info.df, aes(x = theta, y = prob)) + geom_line() +
  scale_x_continuous(breaks = seq(-6, 6, 2), limits = c(-4, 4)) +
  scale_y_continuous(labels = percent, breaks = seq(0, 1, .25)) +
  labs(x = "Person ability", y = "Probability of correct response",
       title = "Item characteristic plot",
       subtitle = "Items ordered from least to most difficult") +
  facet_wrap(~ reorder(item, diff, mean), ncol = 10) +
  theme_classic()

人员参数图

plot(person.parameter(res.rasch))

?

与其他人相比，这非常简单。我们需要估计的人员能力：

ggplot(raschdat1.long, aes(x = tot, y = ability)) +
  geom_point(shape = 1, size = 2) + geom_line() +
  scale_x_continuous(breaks = 1:26) +
  scale_y_continuous(breaks = round(c(
    min(raschdat1.long$ability),seq(-1.5, 1.5, .5),
    max(raschdat1.long$ability)), 2)) +
  labs(x = "Raw scores", y = "Latent scores", title = "Person parameter plot") +
  theme_classic()

?

项目均方拟合

对于infit MSQ，执行相同的计算。

eRm：


ggplot(item.fit.df, aes(x = mml, y = cml)) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 2, .1)) +
  scale_y_continuous(breaks = seq(0, 2, .1)) +
  geom_point(shape = 1) + geom_abline(slope = 1) + theme_classic() +
  geom_smooth(se = FALSE) + facet_wrap(~ method, ncol = 2) +
  labs(x = "glmer (MML)", y = "eRm (CML)", title = "Item fit comparing CML and MML")

?

似乎CML的MSQ几乎总是比多级模型（MML）的MSQ高。

eRm：

?

来自CML的MSQ几乎总是比来自多层次模型（MML）的MSQ高。我使用传统的临界值来识别不适合的人。身材矮小的人MSQ只有一个正确的问题，无法回忆起8、26和53的问题。

测试信息

eRm：

plotINFO(res.rasch)

?

创建ICC计算测试信息时，我们已经完成了上述工作。对于总体测试信息，我们需要对每个项目的测试信息进行汇总：

?

?

最后，我认为使用标准测量误差（SEM），您可以创建一个置信度带状图。SEM是测试信息的反函数。

?

该图表明，对于一个估计的能力为-3的孩子，他们的能力的估计精度很高，他们的实际分数可能在-1.5和-4.5之间。

经过这一工作，我觉得我可以更好地理解该模型试图要求一系列项目的内容，以及其中的一些内容诊断。

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