已知 gcd(x, y, z) = G, lcm(x, y, z) = L，
求有多少种组合(x, y, z)可以满足条件。G, L都在32位int范围内。
思路： 素数分解 + 容斥
L : p1^t1 * p2^t2 ... * pi^ti
G: q1^s1 * q2^s2... * qi^si
若 L % G 不为0, 则不存在解;
否则 L分解结果中素因子的长度一定不小于G分解结果的素因子个数，
且对应的素数的指数部分前者（L的分解结果）一定不小于后者（G的分解结果）。
比如，对于共同的一个质因子pi, L和G分解结果中对应的指数分别为 b和c， 那么b >= c，
且三个数（也就是x， y，z）的分解因式中一定有一个pi对应的指数为c， 同时也有一个为c
另一个为b~c中任意一个数。
利用容斥： 结果 = 任意3个b~c中的数的组合个数（即(b-c+1)^3) - 没有出现b的组合个数(即(b-c)^3)
- 没有出现c的组合个数（即(b-c)^3) + 没有出现b也没有出现c的组合个数（(b-c-1)^3).
附上代码：
1 /*************************************************************************
2 > File Name: 4497.cpp
3 > Author: Stomach_ache
4 > Mail: [email protected]
5 > Created Time: 2014年05月20日 星期二 09时40分42秒
6 > Propose: 素数分解 + 容斥
7 ************************************************************************/
8
9 #include <cmath>
10 #include <string>
11 #include <cstdio>
12 #include <vector>
13 #include <fstream>
14 #include <cstring>
15 #include <iostream>
16 #include <algorithm>
17 using namespace std;
18
19 typedef long long LL;
20 typedef pair<int, int> pii;
21 #define X first
22 #define Y second
23 const int MAX_N = (100005);
24 int prime[10000], cnt = 0 // 记录素数;
25 bool vis[MAX_N+1];
26 vector<pii> cnt1, cnt2; // 记录素数分解结果
27
28 // 素数筛
29 void
30 get_prime() {
31 memset(vis, true, sizeof(vis));
32 for (int i = 2; i < MAX_N; i++) {
33 if (vis[i]) {
34 prime[cnt++] = i;
35 for (LL j = (LL)i*i; j < MAX_N; j += i) {
36 vis[j] = false;
37 }
38 }
39 }
40 }
41
42 // 素数分解
43 void
44 split(int n, vector<pii> &ret) {
45 ret.clear();
46 for (int i = 0; i < cnt && prime[i] <= n/prime[i]; i++) {
47 if (n % prime[i] == 0) {
48 int count = 0;
49 while (n % prime[i] == 0) {
50 count++;
51 n /= prime[i];
52 }
53 ret.push_back(pii(prime[i], count));
54 }
55 }
56 if (n != 1) {
57 ret.push_back(pii(n, 1));
58 }
59 }
60
61 int
62 main(void) {
63 //素数筛
64 get_prime();
65 int t;
66 scanf("%d", &t);
67 while (t--) {
68 int G, L;
69 scanf("%d %d", &G, &L);
70 if (L % G) {
71 puts("0");
72 continue;
73 }
74 //素数分解
75 split(G, cnt1);
76 split(L, cnt2);
77 int ans = 1;
78 int len1 = cnt1.size(), len2 = cnt2.size();
79 for (int i = 0, j = 0; i < len1; i++, j++){
80 while (cnt1[i].first != cnt2[j].first) {
81 j++;
82 }
83 cnt2[j].second -= cnt1[i].second;
84 }
85 for (size_t i = 0; i < len2; i++) {
86 if(cnt2[i].second == 0) {
87 ans += 0;
88 } else {
89 int c = cnt2[i].second;
90 //容斥
91 ans *= ((LL)c+1)*(c+1)*(c+1) - 2*((LL)c)*(c)*(c) + ((LL)c-1)*(c-1)*(c-1);
92 }
93 }
94 printf("%d\n", ans);
95 }
96
97 return 0;
98 }
时间： 2024-08-13 19:58:48