MATLAB学习笔记（七）——MATLAB解方程与函数极值

（一）线性方程组求解

包含n个未知数，由n个方程构成的线性方程组为：

其矩阵表示形式为：

其中

一、直接求解法

1、左除法

x=A\b;

如果A是奇异的，或者接近奇异的。MATLAB会发出警告信息的。

2、利用矩阵的分解来求解线性方程组（比单单进行左除速度快）

（1）LU分解

LU分解就是分解成一个交换下三角矩阵（也就是说进行一定的操作后才是下三角矩阵）和一个上三角矩阵（不需要变换）的乘积形式。只要A是非奇异的，就可以进行LU分解。

MATLAB提供的LU分解函数对于矩阵进行LU分解：

[L,U]=lu(X);      %X必须是方阵
[L,U,P]=lu(X);    %PX=LU。X必须是方阵

实现LU分解之后，线性方程组Ax=b的解就为x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)、

（2）QR分解

QR分解就是分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。只要A是非奇异的，就可以进行LU分解。QR只能对方阵进行分解。

[Q,R]=qr(X);        %X=QR
[Q,R,E]=qr(X);      %XE=QR

实现QR分解之后，解为x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。

（3）Cholesky分解

如果X是正定的。则将矩阵分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。上三角矩阵为R，下三角矩阵为其转置，X=R’R.

MATLAB进行CHolesky分解方法：

R=chol(X);
[R,p]=chol(X);        %p=0则为正定矩阵，返回一个R，或者p为一个正整数q=p-1，满足R‘R=X(1:q,1:q)

则线性方程组的解为x=R\(R’\b)

二、迭代法求解