目录
- 树上数据结构——LCT
- 概述
- 基本概念
- 核心操作
- 其他操作
- 完整模板
树上数据结构——LCT
概述
LCT是一种强力的树上数据结构，支持以下操作：
- 链上求和
- 链上求最值
- 链上修改
- 子树修改
- 子树求和
- 换根
- 断开树上一条边
- 连接两个点，保证连接后仍然是一棵树。
基本概念
LCT是对树的实链剖分，即把所有边划分为实边和虚边
类似于重链剖分，每个点连向子节点中的实链至多只会有一条，把这条实边连向的儿子叫做实儿子
把一些实边连接的点构成的链叫做实链，容易发现实链之间没有共同点
需要注意的是一个不在实边上的点（一些叶节点）也视为一条没有实边的实链
于是实链之间一定是用虚边链接的
要涉及动态删连边操作，于是使用splay来维护一条实链，splay是LCT的辅助树
此处splay的深度按中序遍历严格递增
由于用splay维护，LCT的实边是动态的，可以改变
核心操作
? access(x)：让x到根节点的所有边均为实边，并且x没有实儿子
这个推荐flash_hu的博客，简单易懂
稍微说一下，每次操作先把当前要连的点splay到当前splay的根，由于splay中深度按中序遍历递增，此时根的右儿子一定是之前连的实链，需要去掉
于是把之前的点连到当前根的右儿子就行了
注意此时一些\(fa,son,isroot\)之类的信息改变了，需要\(push\)_\(up\)
void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]){ //y是之前的根，x是当前需要连的点
splay(x); ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
}其他操作
- makeroot
换根操作
access(x)之后x是深度最大的点
所以splay(x)之后，x在splay中一定没有右子树，这个时候翻转整个splay，所有点的深度就都倒过来了，x成为深度最小的点，即为根节点
void pushr(int x){ swap(ch[x][0],ch[x][1]); r[x]^=1; } void makeroot(int x){ access(x); splay(x); pushr(x); } - findroot
找所在树的树根，可以用来判断两点之间的连通性（两点所在树相同则有唯一相同根
int findroot(int x){ access(x);splay(x); while(c[x][0]) push_down(x),x=ch[x][0];//寻找深度最小的点，此处push_down是为了x到跟的标记放完，好判连通性 splay(x);//多多splay有益健康 return 0; } - split
把一条路径拉成一个splay
void spilt(int x,int y){ makeroot(x);access(y); splay(y); } - link
连一条边，保证连完还是一棵树
不保证合法：
int link(int x,int y){ makeroot(x); if(findroot(y)==x) return 0; fa[x]=y; //把x作为y的儿子 return 1; }保证合法：
void link(int x,int y){ makeroot(x); fa[x]=y; }此处连的边是虚边（感受到实链剖分的方便了罢
- cut
断边
保证存在：
void cut(int x,int y){ split(x,y); fa[x]=ch[y][0]=0; }不存在此边的时候是什么情况呢？
先把x给\(makeroot\)到根
- x和y不连通 （\(findroot\)）
- 在同一splay中而没有直接连边 （\(f[y]==x\)且\(!c[y][0]\))
(考虑其他的点在哪里，在findroot之后x到了根节点，如果x和y之间有点，只能是在y到根的路径上或者y的左儿子上)
int cut(int x,int y){ makeroot(x); if(findroot(y)!=x||fa[y]!=x||ch[y][0]) return 0; fa[y]=ch[x][1]=0; push_up(x); return 1; } - nroot
naiive的操作，判断此点是否不是当前splay的根节点
int nroot(int x){ return (ch[fa[x]][1]==x||ch[fa[x]][0]==x); } - splay 的特殊性
此处splay的标记一定要从上往下放，也就是先开个栈把标记放完再旋转
完整模板
#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define I inline void
#define G if(++ip==ie)if(fread(ip=buf,1,SZ,stdin))
#define lc c[x][0]
#define rc c[x][1]
using namespace std;
const int SZ=1<<19,N=3e5+9;
char buf[SZ],*ie=buf+SZ,*ip=ie-1;
inline int in(){
G;while(*ip<'-')G;
R x=*ip&15;G;
while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
return x;
}
int f[N],c[N][2],v[N],s[N],st[N];
bool r[N];
inline bool nroot(R x){//判断节点是否为一个Splay的根（与普通Splay的区别1）
return c[f[x]][0]==x||c[f[x]][1]==x;
}//原理很简单，如果连的是轻边，他的父亲的儿子里没有它
I pushup(R x){//上传信息
s[x]=s[lc]^s[rc]^v[x];
}
I pushr(R x){R t=lc;lc=rc;rc=t;r[x]^=1;}//翻转操作
I pushdown(R x){//判断并释放懒标记
if(r[x]){
if(lc)pushr(lc);
if(rc)pushr(rc);
r[x]=0;
}
}
I rotate(R x){//一次旋转
R y=f[x],z=f[y],k=c[y][1]==x,w=c[x][!k];
if(nroot(y))c[z][c[z][1]==y]=x;c[x][!k]=y;c[y][k]=w;//额外注意if(nroot(y))语句，此处不判断会引起致命错误（与普通Splay的区别2）
if(w)f[w]=y;f[y]=x;f[x]=z;
pushup(y);
}
I splay(R x){//只传了一个参数，因为所有操作的目标都是该Splay的根（与普通Splay的区别3）
R y=x,z=0;
st[++z]=y;//st为栈，暂存当前点到根的整条路径，pushdown时一定要从上往下放标记（与普通Splay的区别4）
while(nroot(y))st[++z]=y=f[y];
while(z)pushdown(st[z--]);
while(nroot(x)){
y=f[x];z=f[y];
if(nroot(y))
rotate((c[y][0]==x)^(c[z][0]==y)?x:y);
rotate(x);
}
pushup(x);
}
/*当然了，其实利用函数堆栈也很方便，代替上面的手工栈，就像这样
I pushall(R x){
if(nroot(x))pushall(f[x]);
pushdown(x);
}*/
I access(R x){//访问
for(R y=0;x;x=f[y=x])
splay(x),rc=y,pushup(x);
}
I makeroot(R x){//换根
access(x);splay(x);
pushr(x);
}
int findroot(R x){//找根（在真实的树中的）
access(x);splay(x);
while(lc)pushdown(x),x=lc;
splay(x);
return x;
}
I split(R x,R y){//提取路径
makeroot(x);
access(y);splay(y);
}
I link(R x,R y){//连边
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x)f[x]=y;
}
I cut(R x,R y){//断边
makeroot(x);
if(findroot(y)==x&&f[y]==x&&!c[y][0]){
f[y]=c[x][1]=0;
pushup(x);
}
}
int main()
{
R n=in(),m=in();
for(R i=1;i<=n;++i)v[i]=in();
while(m--){
R type=in(),x=in(),y=in();
switch(type){
case 0:split(x,y);printf("%d\n",s[y]);break;
case 1:link(x,y);break;
case 2:cut(x,y);break;
case 3:splay(x);v[x]=y;//先把x转上去再改，不然会影响Splay信息的正确性
}
}
return 0;
}之后可能会补自己做的LCT题（咕
在创作本文的过程中，参考了以下文章：
- [flash_hu大佬的博客][https://www.cnblogs.com/flashhu/p/8324551.html]
- [NOI级别的超强数据结构——Link-cut-tree（动态树）学习小记][https://blog.csdn.net/qq_36551189/article/details/79152612]
- 成都七中的LCT课件（有一点吧
- Yang Zhe 2007年的论文
原文地址：https://www.cnblogs.com/lcyfrog/p/11391899.html