Definition&Solution
线段树是一种log级别的树形结构，可以处理区间修改以及区间查询问题。期望情况下，复杂度为O(nlogn)。
核心思想见百度百科，线段树即将每个线段分成左右两个线段做左右子树。一个线段没有子树，当且仅当线段表示的区间为[a,a]。
由于编号为k的节点的子节点为2k以及2k+1，线段树可以快速的递归左右叶节点。
lazy标记：当进行区间修改的时候，如果一个区间整体全部被包含于要修改的区间，则可以将该区间的值修改后，将lazy标记打在区间上，不再递归左右区间。
例如，要修改[15,30]区间整体+2，当前区间为[16,24]，被包含于要修改的区间。记代表区间[16,24]的节点编号为k，则tree[k]+=2*(24-16+1)，同时lazy[k]+=2。
在下次修改或查询到k节点时，进行lazy的下放，即如下代码
inline void Free(cl l,cl r,cl p) {
ll m=(l+r)>>1,dp=p<<1;
tree[dp]+=(m-l+1)*lazy[p];tree[dp+1]+=(r-m)*lazy[p];
lazy[dp]+=lazy[p];lazy[dp+1]+=lazy[p];
lazy[p]=0;
}
注意：被打上lazy标记的区间实际上已经修改完区间和，每次free修改的是子区间。
Example
Description
已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
Input
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
Output
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。
Sample Input
5 5 1 5 4 2 3 2 2 4 1 2 3 2 2 3 4 1 1 5 1 2 1 4
Sample Output
11 8 20
Hint
时空限制：1000ms,128M
数据规模：
对于30%的数据：N<=8，M<=10
对于70%的数据：N<=1000，M<=10000
对于100%的数据：N<=100000，M<=100000
Solution
模板题。有一些需要注意的地方会在summary写明
Code
#include<cstdio>
#define maxn 100010
#define maxt 400010
#define ll long long int
#define cl const long long int
inline void qr(long long &x) {
char ch=getchar();long long f=1;
while(ch>‘9‘||ch<‘0‘) {
if(ch==‘-‘) f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
x*=f;
return;
}
inline long long max(const long long &a,const long long &b) {if(a>b) return a;else return b;}
inline long long min(const long long &a,const long long &b) {if(a<b) return a;else return b;}
inline long long abs(const long long &x) {if(x>0) return x;else return -x;}
inline void swap(long long &a,long long &b) {
long long c=a;a=b;b=c;return;
}
ll n,m,MU[maxn],sign,a,b,c;
ll tree[maxt],lazy[maxt];
void build(const ll l,const ll r,const ll p) {
if(l>r) return;
if(l==r) {tree[p]=MU[l];return;}
ll m=(l+r)>>1,dp=p<<1;
build(l,m,dp);build(m+1,r,dp+1);
tree[p]=tree[dp]+tree[dp+1];
}
inline void Free(cl l,cl r,cl p) {
ll m=(l+r)>>1,dp=p<<1;
tree[dp]+=(m-l+1)*lazy[p];tree[dp+1]+=(r-m)*lazy[p];
lazy[dp]+=lazy[p];lazy[dp+1]+=lazy[p];
lazy[p]=0;
}
inline void wohenlan(cl l,cl r,cl p,cl v) {tree[p]+=(r-l+1)*v;lazy[p]+=v;}
void add(cl l,cl r,cl p,cl aiml,cl aimr,cl v) {
if(l>r) return;
if(l>aimr||r<aiml) {return;}
if(l>=aiml&&r<=aimr) {wohenlan(l,r,p,v);return;}
Free(l,r,p);
ll m=(l+r)>>1,dp=p<<1;
add(l,m,dp,aiml,aimr,v);add(m+1,r,dp+1,aiml,aimr,v);
tree[p]=tree[dp]+tree[dp+1];
}
ll ask(cl l,cl r,cl p,cl aiml,cl aimr) {
if(l>r) return 0;
if(l>aimr||r<aiml) {return 0;}
if(l>=aiml&&r<=aimr) {return tree[p];}
Free(l,r,p);
ll m=(l+r)>>1,dp=p<<1;
return ask(l,m,dp,aiml,aimr)+ask(m+1,r,dp+1,aiml,aimr);
}
int main() {
qr(n);qr(m);
for(int i=1;i<=n;++i) qr(MU[i]);
build(1ll,n,1ll);
while(m--) {
sign=a=b=0;qr(sign);qr(a);qr(b);
if(sign==1) {
c=0;qr(c);
add(1,n,1,a,b,c);
}
else printf("%lld\n",ask(1, n, 1, a, b));
}
return 0;
}
Summary
1、线段树大小要开4*n。理论上线段树会有2*n个子节点，但是试试这棵线段树：1 2 3 4 5
如图所示：
可以看到，节点数确实是6*2-1=11个，但是由于我们每个节点编号都严格按照母节点*2(+1)进行编号，所以我们的编号开到了2*n之外。开4*n是比较保险的。
2、注意对lazy标记的free操作要在确定区间可以再分以后进行。即先写
if(l>=aiml&&r<=aimr) {wohenlan(l,r,p,v);return;}
或
if(l>=aiml&&r<=aimr) {return tree[p];}
后，如果没有return，则证明区间一定是可再分的，即还没有递归到叶节点，这时才可以进行free操作。否则的话考虑在叶节点的编号可能大于2*n，我们在叶节点free了一下，标记被下放到了4*n以外……
然后你就炸了。
原文地址：https://www.cnblogs.com/yifusuyi/p/9255229.html