BZOJ1049 [HAOI2006]数字序列0

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Description

　　现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。
但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

Input

　　第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。n<=35000,保证所有数列是随机的

Output

　　第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。 第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变
的绝对值之和的最小值。

Sample Input

4

5 2 3 5

Sample Output

1

4

正解：DP

解题报告：

　　考虑补集转换，题目转换为：最大化不修改的点。

　　对于任意的i,j(j<i),如果可以通过修改中间的j-i+1个数来使得[j,i]满足要求，必要条件是a[i]-a[j]>=i-j，不妨设b[i]=a[i]-i，则条件变为b[i]>=b[j]，至此第一问最长不降子序列可做。

　　第二问，不妨设g[i]为1到i的答案，则

　　$${g[i]=min(g[j]+cost[j+1,i])}$$

　　j需要满足：j可以转移到i且$${f[j]+1=f[i]}$$

　　cost[j,i]表示修改[j,i]的最小代价

　　结论：必定存在点t使得[j,t]都为bj，[t+1,i]都为bi。证明从略

　　只需每次找到一个分割点，暴力枚举即可。细节较多。

 1 //It is made by ljh2000
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <vector>
 9 #include <string>
10 using namespace std;
11 typedef long long LL;
12 const int MAXN = 35011;
13 const LL inf = (1LL<<50);
14 int n;
15 LL a[MAXN],g[MAXN],cost1[MAXN],cost2[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],ans,f[MAXN];
16 vector<int>w[MAXN];
17 inline int getint(){
18     int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<‘0‘||c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar();
19     if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar(); return q?-w:w;
20 }
21 inline int find(LL x){ int l=1,r=n,pos=0,mid; while(l<=r) { mid=(l+r)>>1; if(c[mid]<=x) l=mid+1,pos=mid; else r=mid-1; } return pos; }
22 inline void work(){
23     n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint(),b[i]=a[i]-i; a[++n]=inf; b[n]=a[n]-n; for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=g[i]=inf;
24     for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=find(b[i])+1,c[f[i]]=min(c[f[i]],b[i]); for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
25     printf("%lld\n",n-ans); w[0].push_back(0); int from; LL now; b[0]=-inf;//!!!
26     for(int i=1;i<=n;i++) {
27         from=f[i]-1;
28         for(int j=0,size=w[from].size();j<size;j++) {
29             int v=w[from][j]; if(b[i]<b[v]) continue;//转移不到
30             cost1[v-1]=cost2[v-1]=0;
31             for(int k=v;k<=i;k++) cost1[k]=abs(b[k]-b[v]),cost2[k]=abs(b[k]-b[i]);
32             for(int k=v+1;k<=i;k++) cost1[k]+=cost1[k-1],cost2[k]+=cost2[k-1];
33             for(int k=v;k<=i;k++) {
34                 now=cost1[k]-cost1[v]+cost2[i]-cost2[k];
35                 g[i]=min(g[i],g[v]+now);
36             }
37         }
38         w[f[i]].push_back(i);
39     }
40     printf("%lld",g[n]);
41 }
42
43 int main()
44 {
45     work();
46     return 0;
47 }