复分析复习9——全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计

复习8中我们得到单位分解定理,现在便可以推导一个全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计了.

我们先来证明一个引理,事实上他是单位分解定理的一个简单推论:设$\Omega\subset\mathbb
C$为开集,$K$为$\Omega$的紧致子集,$V$为$K$的开邻域且$V\subset\Omega$,则存在$\varphi\in\mathscr
D(V)$使得

1)$0\leq\varphi\leq1$;

2)在$V$的某邻域上有$\varphi\equiv1$.

证    对任意的$\varepsilon>0$,令

V(K,ε)?{z∈C:ρ(K,z)>ε}

我们可以选取适当的$\varepsilon$使得

K?V(K,ε)?Vˉˉˉ(K,2ε)?V

那么集合$\Omega_{1}=V(K,2\varepsilon)$和$\Omega_{2}=\Omega\setminus\overline{V}(K,\varepsilon)$构成了$\Omega$的一个开覆盖,根据单位分解定理,存在着序列$\{f_{n}(z)\}_{n\in\mathbb
N^*}\subset\mathscr D(\Omega)$满足单位分解定理的三个性质.令

φ(z)=∑suppfi(z)?Ω1fi(z)

显然$\varphi(z)\in\mathscr D(\Omega)$且

0≤φ(z)≤1

另一方面注意到若${\rm supp}f_{j}(z)\not\subset\Omega_{1}$,则必有

suppfj(z)?Ω2

因此在$\overline{V}(K,\varepsilon)$上恒有

fj(z)=0

这样在$V(K,\varepsilon)$上

φ(z)=∑i∈N?fi(z)≡1.

全纯函数各阶导数在紧集上的一致估计：设区域$U\subset\mathbb
C$,且$K$为$U$的紧子集,而$V$为$K$的邻域并且$\overline{V}$也是$U$的紧子集,那么我们有：对$U$中任意的全纯函数$f(z)$,都存在着数列$\{c_{n}\},n\in\mathbb
N^*$使得

supz∈K|f(n)(z)|≤cn∥f∥L(V)

其中$\|f\|_{L(V)}$定义为

1A(V)∫V|f(ζ)|dA.

证  
 根据引理在$V$中存在$C^{\infty}$函数$g(z)$满足：在$V$上具有紧致的支集且在$K$的含于$V$的邻域内取值为1.那么对函数$fg$应用Pompeiu公式得

f(z)g(z)=12πi∫?Uf(ζ)g(ζ)ζ?zdζ+12πi?U?(fg)?ζˉ?dζ∧dζˉζ?z=12πi?U(f?g?ζˉ+g?f?ζˉ)dζ∧dζˉζ?z

注意到$f$全纯,从而$\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}=0$.再者注意到$K_{1}={\rm
supp}\frac{\partial g}{\partial\overline{z}}$是$V$的紧子集,而在$K$上,常有$\frac{\partial
g}{\partial\overline{\zeta}}=0$,从而

ρ(K1,K)>0(1)

因此当$z\in K$时

f(z)?f(n)(z)?∣∣f(n)(z)∣∣=12πi?K1f?g?ζˉ?dζ∧dζˉζ?z=n!2πi?K1f?g?ζˉ?dζ∧dζˉ(ζ?z)n+1≤n!2π?K1|f(ζ)|?∣∣∣∣?g?ζˉ∣∣∣∣?∣∣∣∣dζ∧dζˉ(ζ?z)n+1∣∣∣∣

由(1)可知,存在$M>0$使得

1|ζ?z|<M,\foallz∈K,ζ∈K1

另一方面$C^{\infty}$的函数$g$在紧集$K_{1}$上必然有$\left|\frac{\partial
g}{\partial\overline{\zeta}}\right|$有界,因此存在常数$a_{n}$使得

∣∣f(n)(z)∣∣≤2an?K1|f(ζ)|dA?cn∥f∥L(V)

这样我们就给出了一个全纯函数$f(z)$在紧集$K$上各阶导数的一致估计了.

显然这个结果要比我们之前得到的估计式子要深刻的多.

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