网易2016笔试（2）

有n个信封，包含n封信，现在把信拿出来，再装回去，要求每封信不能装回它原来的信封，问有多少种装法?

给定一个整数n，请返回装发个数，为了防止溢出，请返回结果Mod 1000000007的值。保证n的大小小于等于300。

测试样例：2   返回 1

一开始我以为是卡特兰数问题：卡特兰数应用

考虑半天，但是也无法列出卡特兰数的公式。安静下来发现，h(0)=h(1)=0，不满足卡特兰数条件。于是乎就想请教大神。大神给了个思路：

计算f(n),假设1,2,3,4,......n。那么n若放在位置i,可以分两种情况考虑。i放在位置n和i不放在位置n。为什么这么考虑呢？因为如果i放在n,那么剩下就是f(n-2),否则的话就是f(n-1)。第一种情况你很容易理解，i和n都放好了，剩下的就是n-2个数不放在原来的信封里。但是i如果不放在n位置，剩下n-1个数，其中i放哪都可以啊，和题目中每个信封不放在原信封条件不同啊。很好，i是可以放在任何位置，但前提假设了这种情况是i不放在n位置。这样这n-1个数，除了i,其余的限制是不放在原信封，i的限制是不放在n位置。所以等价这其实就是f(n-1)。

问题到这，用递归计算就太简单了。代码如下：

int countWays(int n) {
        // write code here
        if(n<2)return 0;
        if(n==2)return 1;
        return (n-1)*(countWays(n-1)%1000000007+countWays(n-2)%1000000007);
    }

问题求得的结果没得问题，但是时间使用超过3000ms，远远超过限制时间。

但也可以猜想到，就是上述代码重复计算了太多值。于是乎，就改用循环。代码如下：

int countWays(int n) {
        // write code here
       int a=0;
       int b=1;
        if(n<=1)return a;
        if(n==2)return b;
        long result;
        long x=0;
        long y=1;
        for(int i=3;i<=n;i++)
            {
            result=(i-1)*(x+y)%1000000007;
            x=y;
            y=result;
        }
        return result;
    }

这样就很好了，根据n的大小，从头到尾计算一遍，直至f(n)。

总结：在一个序列上递归就很容易产生重复计算的问题，造成代码效率不高。同时一开始考虑问题总想着套路，这样并不好。有思路有解法才能利用公式等工具解决问题。先想解法，再看是不是公式，再解题。