查找出现次数大于n/k的重复元素

本文是对一篇英文论文的总结：Finding Repeated Elements。想看原文，请Google之。

这个问题的简单形式是“查找出现次数大于n/2的重复元素”。我们先从简单问题开始，然后再做扩展。

1.查找出现次数大于n/2的重复元素

　　《编程之美》中有同样的一道题《寻找发帖水王》，具体思路是每次删除两个不同的元素，最后剩下的就是要求的元素。这个结论的证明如下：

　　已知：n,m是正整数，n表示数组的长度，m是出现次数大于n/2的元素的个数，即m>n/2。

　　需要求证的结论包括两个：

　(1)我们用v表示出现次数大于n/2的元素。当删除两个不同元素，且其中有一个元素是v时，则m减小1，同时n要减小2。

　　求证：m-1>(n-2)/2

　　证明：m-1>n/2-1=(n-2)/2

　(2)当删除两个不同元素，且其中有一个元素不是v时，则只需要n减小2。

　　求证：m>(n-2)/2 。这个结论是显然的。

代码如下：

int find(int array[],　int n)
{
    int candidate;
    int count=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(count==0)
        {
             candidate=array[i];count=1;
        }
        else
        {
             if(candidate==array[i])
                   ++count;
              else
                   --count;
        }
    }
    return candidate;
}

上述代码是错误的，最后还要验证一下candiate是不是的出现次数是大于n/2的。反例，1,2,3，最后剩下的是3，但是他不是我们要的结果。

《编程之美》的后面习题是“查找出现次数大于n/4的元素”，思路是每次删除不同的4个元素，最后剩下的3个就是候选元素，但是还要验证这3个元素是否满足条件。不再详细解释。其实《编程之美》里讲的方法就是本文后提到的“多重集”算法。

对于大于n/4的元素，最多有3个候选人，我们就设置3个candidate，每次同时删掉4个元素，其实是3个candidate同时减1。对剩下的3个元素检验是否是我们想要的结果即可。

推广到找到大于n/k的情况，设置（k-1）个候选。