codeforces 100548F （西安现场赛F题）:容斥原理

题目大意：

对n个排成一排的物品涂色，有m种颜色可选。

要求相邻的物品颜色不相同，且总共恰好有K种颜色，问所有可行的方案数

分析：

从m种颜色中选出k种，有c(m,k)种方法，那么我们只用考虑 k种颜色的涂法即可

显然第一个物品有k种涂法，后面的因为不能跟前面的相同都只有k-1种涂法

因此容易想到一个公式：k*(k-1)^(n-1)

但是这个公式算的是 不超过k种颜色的涂法，题目要求必须k种，怎么办呢？

先考虑一个简化版的问题：

用而且用完5种颜色涂不相关的五个物品的方案数

用阶乘的方法可以算出 ans=120，换一种思路呢想一想这个问题，容易想到

ans（取五种颜色）=5^5（取不大于5种颜色）-c(5,4)*4^5（取不大于4种颜色）

可是一算发现ans竟然小于0了，这是怎么回事呢？容易发现其实取小于四种颜色的方案被减重复了

于是想到需要容斥

ans=c(5,5)*5^5-c(5,4)*4^5+c(5,3)*3^5-c(5,2)*2^5+c(5,1)*1^5 =120

这个问题解决了。原问题也就差不多了。。

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<ctype.h>
using namespace std;
const long long mod=1000000007;
const long long ny=500000004;
long long n,m,k;
long long cm[1000010];
long long cn[1000010];
long long ck[1000010];
long long inv[1000010];
long long mo(long long x)
{
    while(x<0)
        x+=mod;
    return x%mod;
}
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a==0&&b==0) return -1;
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
long long Inv(long long a,long long n)
{
    long long x,y;
    long long d=exgcd(a,n,x,y);
    if(d==1) return (x%n+n)%n;
    else return -1;
}
long long quickmod(long long a,long long b,long long m) //a^b%m
{
    long long res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
void ini()
{
    cn[0]=cm[0]=1;
    memset(cm,0,sizeof(cm));
    cm[0]=1;
    int tmp=min(m/2,k);
    for(int i=1;i<=tmp;i++)
    {
        cm[i]=(cm[i-1]*(m+1-i)%mod*inv[i])%mod;
    }
    if(cm[k]==0)
        cm[k]=cm[m-k];
    ck[0]=ck[k]=1;
    for(int i=1;i<=k/2;i++)
    {
        ck[i]=(ck[i-1]*(k+1-i)%mod*inv[i])%mod;
        ck[k-i]=ck[i];
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        inv[i]=Inv(i,mod);
    }
    int t;
    scanf("%d",&t);
    int cas=0;
    while(t--)
    {
        cas++;
        scanf("%I64d%I64d %I64d",&n,&m,&k);
        ini();
        long long ans=0;
        long long p=1;
        for(int i=k;i>=1;i--)
        {
            ans=(ans+p*((ck[k-i])*i%mod*quickmod(i-1,n-1,mod)%mod)+mod)%mod;
            p=-p;
        }
        ans=(ans*cm[k])%mod;
        printf("Case #%d:%c%I64d\n",cas,‘ ‘,ans);
    }
    return 0;
}